Bài 2. (7 điểm) Cho $n$ điểm trong mặt phẳng, với $n>4$ và không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có ít nhất $\frac{(n-3)(n-4)}{2}$ tứ giác lồi có đỉnh nằm trong số $n$ điểm đã cho.

Cho tập hợp $S=\{1;2;3;\dots ;2025;2026\}$.

a) Có bao nhiêu tập con khác rỗng của $S$ thỏa mãn tổng các phần tử của tập con đó chia hết cho 4.

b) Xét $n$ $(n\in \mathbb{N},n\ge 2)$ tập hợp con $S_1,S_2,\dots ,S_n$ của $S$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1. $S_i\ne \varnothing$ với $i=1,2,\dots ,n$.

2. $\left|S_i\setminus S_j\right|\ne 0,\forall i\ne j,1\le i,j\le n$.

3. $\left|S_i\right|\ne \left|S_j\right|,\forall i\ne j,1\le i,j\le n$.

Tìm giá trị lớn nhất của $n$ (kí hiệu $|S|$ là số phần tử của tập hợp $S$).

Câu 4. (5,0 điểm) Bảng 21×24 (21 hàng, 24 cột) được chia thành 21×24 ô vuông đơn vị. Người ta muốn tô một số ô vuông đơn vị của bảng bởi một trong các màu: xanh, đỏ, vàng (có thể có vài ô vuông đơn vị không được tô màu) sao cho hai điều kiện (i) và (ii) dưới đây đồng thời xảy ra:

(i) Trong các ô vuông đơn vị cùng hàng với mỗi ô vuông đơn vị được tô màu, có không quá 1 ô khác màu với ô đó;

(ii) Trong các ô vuông đơn vị cùng cột với mỗi ô vuông đơn vị được tô màu, có không quá 1 ô khác màu với ô đó.

a) Gọi $x_1$, $x_2$ theo thứ tự là số hàng, số cột của bảng mà trên mỗi hàng/cột đó có ít nhất 2 ô vuông đơn vị được tô xanh; $d_1$, $d_2$ theo thứ tự là số hàng, số cột của bảng mà trên mỗi hàng/cột đó có ít nhất 2 ô vuông đơn vị được tô đỏ; $v_1$, $v_2$ theo thứ tự là số hàng, số cột của bảng mà trên mỗi hàng/cột đó có ít nhất 2 ô vuông đơn vị được tô vàng. Chứng minh rằng

$$x_1+x_2+d_1+d_2+v_1+v_2\le 45.$$

b) Gọi $x$, $d$, $v$ theo thứ tự là số ô vuông đơn vị được tô bởi các màu xanh, đỏ, vàng và đặt $m=\min \{x,d,v\}$. Tìm giá trị lớn nhất của $m$.

Một trường hè toán học gồm $3n$ (với $n\ge 2,n\in \mathbb{N}$) học sinh tham gia, trong đó hai học sinh quen nhau bất kỳ có đúng $n$ học sinh quen chung và hai học sinh không quen nhau bất kỳ có đúng $2n$ học sinh quen chung. Nếu ba học sinh đôi một quen nhau thì ta gọi là một nhóm "Bạn bè".

a) Xác định số lượng các nhóm "Bạn bè".

b) Chứng minh rằng: có thể chia $3n$ học sinh trường hè toán học trên thành ba tổ, mỗi tổ có $n$ học sinh sao cho khi lấy ngẫu nhiên mỗi tổ một học sinh thì ba học sinh này tạo thành một nhóm "Bạn bè".

Cho hai số nguyên $n,k$ thỏa mãn $2⩽k<n$. Trong một lễ hội, có $n$ ngọn đèn được đặt trên một vòng tròn và đánh số $1,2,\dots ,n$ theo chiều kim đồng hồ. Mỗi ngọn đèn ở một trong hai trạng thái: sáng hoặc tắt.

Trong mỗi lượt ghi, trạng thái của các ngọn đèn được giữ cố định. Một người đi quanh vòng tròn theo chiều kim đồng hồ. Khi đứng tại ngọn đèn thứ $i$, người đó ghi lại số ngọn đèn đang sáng trong $k$ ngọn đèn liên tiếp theo chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ ngọn đèn thứ $i$; sau ngọn đèn thứ $n$ lại đến ngọn đèn thứ 1. Gọi số ghi được tại ngọn đèn thứ $i$ là $s_i$. Sau một vòng, người đó thu được bản ghi $(s_1,s_2,\dots ,s_n)$.

a) Xác định điều kiện của $n,k$ để với mọi cách bố trí trạng thái của các ngọn đèn, bản ghi $(s_1,s_2,\dots ,s_n)$ xác định duy nhất cách bố trí đó.

b) Trong suốt lễ hội, trạng thái của các ngọn đèn có thể được thay đổi tùy ý giữa các lượt ghi. Xác định số bản ghi $(s_1,s_2,\dots ,s_n)$ phân biệt có thể thu được.

Một khu vườn trồng cam có dạng bảng ô vuông kích thước $2025\times 2026$ được chia thành các ô vuông đơn vị. Để chiếu sáng khu vườn về ban đêm, ta đặt các bóng điện ở các đỉnh của các ô vuông đơn vị, mỗi đỉnh đặt không quá một bóng điện. Biết rằng mỗi bóng điện chỉ có thể chiếu sáng toàn bộ các ô vuông đơn vị có chung đỉnh có đặt bóng điện đó.
a) Hỏi cần dùng ít nhất bao nhiêu bóng điện để có thể chiếu sáng toàn bộ khu vườn, trong trường hợp các bóng điện hoạt động bình thường?
b) Hỏi cần dùng ít nhất bao nhiêu bóng điện để có thể chiếu sáng toàn bộ khu vườn, kể cả trong trường hợp không may có một bóng điện bất kì bị cháy (mà ta không biết cụ thể là bóng nào)?
c) Trong quá trình trồng cam, chủ vườn quyết định mở rộng khu vườn thành bảng ô vuông có kích thước $2026\times 2026$. Hỏi cần dùng ít nhất bao nhiêu bóng điện để điều kiện ở câu b) vẫn được thỏa mãn?

Tại chương trình Trại hè Hùng Vương lần thứ XX năm 2026, Ban tổ chức đã sắp xếp 26 buổi giao lưu và nghe giảng bài của các cựu học sinh đạt huy chương IMO của Việt Nam. Biết rằng có tất cả $n$ học sinh môn Toán đăng ký và vì theo sắp xếp chương trình, mỗi buổi sẽ có đúng 20 học sinh tham gia và 2 học sinh bất kỳ tham gia chung không quá 1 buổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ trong từng trường hợp sau (có xây dựng ví dụ cụ thể):
a) Mỗi học sinh được tham gia không quá 2 buổi.
b) Có một số học sinh được tham gia nhiều hơn 2 buổi.