Kiểm Tra Khảo Sát HSG Quốc Gia Toán 2025-2026 - Ngày 25/08/2025

Bài 1. (6 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f:(0;+\infty )\to (0;+\infty )$ thỏa mãn
$$f(x+2f(y))=f(x+y)+2y+2f(y),\forall x,y>0.$$

Bài 2. (7 điểm) Cho $n$ điểm trong mặt phẳng, với $n>4$ và không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có ít nhất $\frac{(n-3)(n-4)}{2}$ tứ giác lồi có đỉnh nằm trong số $n$ điểm đã cho.

Bài 3. (7 điểm) Cho $p$ là số nguyên tố. Với mỗi số nguyên dương $k$, đặt $A_k$ là tổng lũy thừa bậc $k$ của $p-1$ số nguyên dương đầu tiên.

a) Chứng minh rằng nếu $p\ge 7$ và $k$ là một số nguyên dương lẻ sao cho $3<k<p-1$ thì $kp{A}_{k-1}-2A_k$ chia hết cho $p^4$.

b) Nếu $p\ge 5$ thì $p^2{A}_{p-1}-2A_p$ có chia hết cho $p^5$ không? Vì sao?