Bác Bình sử dụng một khúc gỗ hình trụ có đường kính bằng 32 cm để làm một chiếc xà nhà. Để đảm bảo tính thẩm mỹ thì bác Bình dự định sẽ cho thợ xẻ khúc gỗ thành một chiếc xà có tiết diện ngang (là miền gạch sọc như hình vẽ bên) bao gồm một hình vuông và 4 miếng phụ là 4 hình chữ nhật bằng nhau. Bốn điểm nằm trên đường tròn ; miếng phụ có hai đỉnh nằm trên đường tròn và hai đỉnh nằm trên cạnh . Mặt khác, diện tích của tiết diện ngang càng lớn thì chiếc xà chịu lực càng tốt. Hỏi bác Bình có thể tạo ra một tiết diện ngang có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu centimet vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Bác Bình sử dụng một khúc gỗ hình trụ có đường kính bằng 32 cm để làm một chiếc xà nhà. Để đảm bảo tính thẩm mỹ thì bác Bình dự định sẽ cho thợ xẻ khúc gỗ thành một chiếc xà có tiết diện ngang (là miền gạch sọc như hình vẽ bên) bao gồm một hình vuông và 4 miếng phụ là 4 hình chữ nhật bằng nhau. Bốn điểm nằm trên đường tròn ; miếng phụ có hai đỉnh nằm trên đường tròn và hai đỉnh nằm trên cạnh . Mặt khác, diện tích của tiết diện ngang càng lớn thì chiếc xà chịu lực càng tốt. Hỏi bác Bình có thể tạo ra một tiết diện ngang có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu centimet vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Đáp án chính thức: 684
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Đặt tâm đường tròn (T) là gốc tọa độ, bán kính R = 16 cm. Hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn nên cạnh a = R√2 = 16√2, diện tích a² = 512 cm², cạnh AB nằm trên đường thẳng y = 8√2.
Xét miếng phụ hình chữ nhật MNPQ gắn trên cạnh AB: gọi h là chiều cao (khoảng cách từ MN đến AB) và x = MN là chiều rộng. Khi đó M, N nằm trên đường tròn tại cao độ t = 8√2 + h, nên x²/4 + t² = 256, suy ra x = 2√(256 − t²) với t ∈ [8√2; 16].
Tổng diện tích tiết diện: S = 512 + 4xh = 512 + 8√(256 − t²)(t − 8√2).
Đặt f(t) = √(256 − t²)(t − 8√2). Ta có f'(t) = (256 − 2t² + 8√2·t)/√(256 − t²).
f'(t) = 0 ⟺ t² − 4√2·t − 128 = 0 ⟺ t = 2√2 + 2√34 ≈ 14,4903 (nghiệm dương thuộc đoạn).
Kiểm tra lại t² = (2√2 + 2√34)² = 8 + 136 + 8√68 = 144 + 16√17 ≈ 209,9697 (phép tính trong lời giải là đúng). Khi đó h = t − 8√2 ≈ 3,1763 và x = 2√(256 − 209,9697) = 2√46,0303 ≈ 13,5691.
Diện tích mỗi miếng phụ: xh ≈ 43,099 cm². Vậy S_max = 512 + 4(43,099) ≈ 684,4 ≈ 684 cm².
Vậy diện tích lớn nhất của tiết diện ngang là 684 cm² (làm tròn đến hàng đơn vị).
Đặt tâm đường tròn (T) là gốc tọa độ, bán kính R = 16 cm. Hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn nên cạnh a = R√2 = 16√2, diện tích a² = 512 cm², cạnh AB nằm trên đường thẳng y = 8√2.
Xét miếng phụ hình chữ nhật MNPQ gắn trên cạnh AB: gọi h là chiều cao (khoảng cách từ MN đến AB) và x = MN là chiều rộng. Khi đó M, N nằm trên đường tròn tại cao độ t = 8√2 + h, nên x²/4 + t² = 256, suy ra x = 2√(256 − t²) với t ∈ [8√2; 16].
Tổng diện tích tiết diện: S = 512 + 4xh = 512 + 8√(256 − t²)(t − 8√2).
Đặt f(t) = √(256 − t²)(t − 8√2). Ta có f'(t) = (256 − 2t² + 8√2·t)/√(256 − t²).
f'(t) = 0 ⟺ t² − 4√2·t − 128 = 0 ⟺ t = 2√2 + 2√34 ≈ 14,4903 (nghiệm dương thuộc đoạn).
Kiểm tra lại t² = (2√2 + 2√34)² = 8 + 136 + 8√68 = 144 + 16√17 ≈ 209,9697 (phép tính trong lời giải là đúng). Khi đó h = t − 8√2 ≈ 3,1763 và x = 2√(256 − 209,9697) = 2√46,0303 ≈ 13,5691.
Diện tích mỗi miếng phụ: xh ≈ 43,099 cm². Vậy S_max = 512 + 4(43,099) ≈ 684,4 ≈ 684 cm².
Vậy diện tích lớn nhất của tiết diện ngang là 684 cm² (làm tròn đến hàng đơn vị).
