Xét đa thức hệ số thực $P(x)$ thỏa mãn $P(1)=\sqrt{2},P(-1)=-\sqrt{2}$ và
$$(P(x){)}^2\le x^6+1,\forall x\in \mathbb{R}.$$
a) Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ có nghiệm thực và có bậc nhỏ hơn 4.
b) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn đề bài.

Cho dãy số nguyên $(u_n)$ được xác định bởi $u_1=3,u_2=7$ và
$$u_{n+2}=3u_{n+1}-u_n,\forall n\ge 1.$$
Cho $N$ là hợp số lẻ không chia hết cho 3 và $u_N\equiv 3(\mathrm{mod}N)$. Đặt $M=\frac{u_N}{3}$.
a) Chứng minh rằng $u_N$ chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
b) Chứng minh rằng $M\equiv 1(\mathrm{mod}4N)$ và $M$ là một hợp số.

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Lấy điểm $X$ cố định nằm trên cung $BC$ không chứa $A$ của $(O)$. Một đường thẳng $d$ chuyển động qua $X$. Các đường thẳng $d_A,d_B,d_C$ lần lượt đối xứng với $d$ qua $BC$, $CA$, $AB$. Gọi $A^{\prime }$ là giao điểm của $d_B$ và $d_C$, $B^{\prime }$ là giao điểm của $d_A$ và $d_C$, $C^{\prime }$ là giao điểm của $d_A$ và $d_B$.
a) Chứng minh rằng $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ đồng quy tại một điểm nằm trên $(O)$.
b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ luôn đi qua một điểm cố định.

Cho số nguyên dương $n\ge 3$ và một số nguyên tố lẻ $p$. Với mỗi $S$ là tập hợp gồm $n$ số nguyên dương phân biệt, ta ký hiệu $l_p(S)$ là số các lũy thừa cơ số $p$ có thể biểu diễn dưới dạng tổng của ba phần tử đôi một khác nhau thuộc $S$. Hãy xác định giá trị lớn nhất có thể có của $l_p(S)$ theo $n$, $p$.

Cho số nguyên dương $n$. Hai bạn $A$ và $B$ cùng tham gia một trò chơi gồm $n$ lượt. Mỗi lượt, họ độc lập giải cùng một câu đố và kết quả là mỗi người chơi hoặc giải được hoặc không giải được. Đặt $c_A(i)$, $c_B(i)$ lần lượt là tổng số câu đố mà $A$, $B$ giải được trong $i$ lượt đầu tiên. Hỏi có bao nhiêu kịch bản có thể xảy ra để $A$ đạt giải đặc biệt, nghĩa là sau khi kết thúc toàn bộ $n$ lượt chơi, $A$ không chỉ giữ được nhiều câu đố hơn $B$ $(c_A(n)>c_B(n))$, mà còn chưa bao giờ để $B$ bỏ xa quá một câu trong suốt quá trình $(\forall i=1,2,\dots ,n:c_B(i)-c_A(i)\le 1)$?