Với $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$M=6x^2+6y^2+z^2.$$

(AI giải đề cho tôi)
Ta chứng minh $M\ge 3$ với dấu bằng đạt được. Xét hiệu:
$$P=6x^2+6y^2+z^2-3(xy+yz+zx).$$
Cố định $x,y$, coi $P$ là tam thức bậc hai theo $z$: $P=z^2-3(x+y)z+6x^2+6y^2-3xy$, có hệ số $a=1>0$ và biệt thức
$$\Delta =9(x+y{)}^2-4(6x^2+6y^2-3xy)=-15x^2+30xy-15y^2=-15(x-y{)}^2\le 0.$$
Vậy $P\ge 0$ với mọi $x,y,z>0$, tức là
$$M=6x^2+6y^2+z^2\ge 3(xy+yz+zx)=3.$$
Dấu bằng xảy ra khi $\Delta =0$ và $z=\frac{3(x+y)}{2}$, tức $x=y$ và $z=3x$. Kết hợp ràng buộc $xy+yz+zx=1$:
$$x^2+3x^2+3x^2=7x^2=1\Rightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{7}},z=\frac{3}{\sqrt{7}}.$$
Kiểm tra: $xy+yz+zx=\frac{1}{7}+\frac{6}{7}=1$ ✓ và $M=\frac{6}{7}+\frac{6}{7}+\frac{9}{7}=3$ ✓.
Vậy $\min M=3$, đạt tại $x=y=\frac{\sqrt{7}}{7},z=\frac{3\sqrt{7}}{7}$.