Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $\frac{10^n}{n^3+n^2+n+1}$ là một số nguyên.

Ta có $n^3+n^2+n+1=(n+1)(n^2+1)$ nên mọi ước nguyên tố của $n+1$ và $n^2+1$ đều thuộc $\{2,5\}$.
Nếu $n$ chẵn thì $n+1$ và $n^2+1$ đều lẻ, nên chúng đều là lũy thừa của 5.
Vì $n>0$, ta có $5\mid n+1$, suy ra $n^2+1\equiv 2(\mathrm{mod}5)$, mâu thuẫn.
Xét $n$ lẻ. Vì $n^2+1\equiv 2(\mathrm{mod}4)$, tồn tại $b\ge 0$ sao cho $n^2+1=2\cdot 5^b$.
Viết $n+1=2^a{5}^c$. Nếu $c>0$ thì $n^2+1\equiv 2(\mathrm{mod}5)$, nên suy ra $b=0$, kéo theo $n=1$, trái với $c>0$.
Vậy $c=0$ và $n=2^a-1$. Thay vào ta được
$$5^b=2^{2a-1}-2^a+1$$
Với $a\ge 4$, ta có $5^b\equiv 1(\mathrm{mod}{2}^a)$. Theo bổ đề LTE thì $v_2(5^b-1)=2+v_2(b)$ nên $2^{a-2}\mid b$.
Mặt khác $5^b<2^{2a-1}$, do đó $b<(2a-1){\log }_{5}2<a\le 2^{a-2}$, mâu thuẫn. Vì thế $a\le 3$.
Thử $a=1,2,3$, ta được $n=1,3,7$. Kiểm tra để thấy được $n=1$ không thoả mãn.
Vậy $n\in \{3,7\}$ là tất cả nghiệm của bài toán.