Một khinh khí cầu bay với độ cao (so với mực nước biển) tại thời điểm $t\left(0\le t\le 29\right)$ là $h(t)$, trong đó $t$ tính bằng phút, $h(t)$ tính bằng mét. Tốc độ bay của khinh khí cầu được cho bởi hàm số $v(t)=a{t}^2+bt\left(a,b\in \mathbb{R}\right)$, với $t$ tính bằng phút, $v(t)$ tính bằng mét/phút. Tại thời điểm xuất phát, khinh khí cầu ở độ cao 520 m và 5 phút sau khi xuất phát, khinh khí cầu đã ở độ cao 530 m. Khinh khí cầu sẽ trở lại độ cao khi xuất phát sau 15 phút.

Đơn đặt hàng của một xưởng sản xuất cho một loại sản phẩm X là khoảng 400 chiếc mỗi ngày khi giá 350 nghìn đồng/1 chiếc và 600 chiếc mỗi ngày khi giá 325 nghìn đồng/1 chiếc. Hàm cung được cho bởi công thức $\rho =0,325x+40$ (nghìn đồng), trong đó $x$ là số sản phẩm được bán với giá $\rho$ nghìn đồng một chiếc. Trong trường hợp hàm cầu là hàm số bậc nhất thì thặng dư tiêu dùng bằng bao nhiêu triệu đồng?

Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi $h(t)$ là thể tích nước bơm được sau $t$ giây. Cho $h^{\prime }(t)=6a{t}^2+2bt$ và ban đầu bể không có nước. Sau 3 giây thì thể tích nước trong bể là $90m^3$ và sau 6 giây thì thể tích nước trong bể là $504m^3$. Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 9 giây.
➢ Trả lời:……………

Một miếng thịt sống được lấy ra khỏi ngăn đá của tủ lạnh và để trên bàn để rã đông. Nhiệt độ của miếng thịt khi nó được lấy ra khỏi ngăn đá là $-4^{\circ }C$ và sau t giờ nhiệt độ của miếng thịt tăng với tốc độ $T^{\prime }(t)=7e^{-0,33t}$ (${}^{\circ }C$ / giờ) (tính từ thời điểm miếng thịt được lấy ra từ ngăn đá tủ lạnh). Miếng thịt này được rã đông khi nhiệt độ của nó đạt đến $10^{\circ }C$.

Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hàng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bằng hàm số $Q^{\prime }(t)=4t^3-72t^2+288t$, trong đó $t$ tính bằng giờ $(0\le t\le 13)$, $Q^{\prime }(t)$ tính bằng khách/giờ (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage). Sau 2 giờ đã có 500 người có mặt.

Bác Bình bơm nước vào bể chứa nước. Gọi $h(t)$ là thể tích nước bơm được sau $t$ phút. Biết lưu lượng nước chảy vào bể tại thời điểm $t$ phút là $h^{\prime }(t)=3a{t}^2+2bt$ (dm³/phút) và ban đầu bể không có nước. Sau 2 phút thì thể tích nước trong bể là 16 dm³, sau 5 phút thì thể tích nước trong bể là 175 dm³. Thể tích của nước trong bể sau khi bơm được 10 phút là

Một bể chứa nước có mặt đáy và miệng bể đều là hình chữ nhật nằm trên 2 mặt phẳng song song với nhau, miệng bể có chiều ngang $15m$ và chiều dài $24m$, đáy bể có kích thước $15m\times 12m$. Độ sâu của bể nước (tính từ miệng đến đáy) là $6m$, mặt cắt vuông góc với chiều ngang của bể có hình dạng là hình thang cân (như hình vẽ). Lúc đầu bể không có nước, người ta sử dụng một máy bơm để bơm nước vào bể với tốc độ $60m^3$ trong một phút. Vào lúc mực nước đúng $5m$ thì tốc độ dâng lên của mực nước trong bể là $\frac{a}{b}$ ($m/$ phút) với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a^2+b^2$?