Dãy số nào dưới đây là dãy số giảm?

Cho hàm số $f:[0;1]\to [-2026;2026]$ thỏa mãn $$f(x)=-\sqrt{1-x}\cdot f\left(\sqrt{(1-x{)}^3}\right),\forall x\in [0;1].$$

a) Xét dãy số $(u_n)$ xác định bởi công thức $u_0=a\in (0;1)$ và $u_{n+1}=\sqrt{(1-u_n{)}^3}$. Chứng minh rằng, $u_n\in (0;1)$ và $$f(a)=(-1{)}^n\cdot \sqrt[3]{u_1{u}_2\dots u_n}\cdot f(u_n)$$ với mọi số nguyên dương $n$.

b) Chứng minh rằng, $f(x)=0$ với mọi $x\in [0;1]$.

Có 7 điểm phân biệt được đánh dấu từ 0 đến 6. Một con châu chấu xuất phát từ điểm khác 0 và thực hiện $n-1$ lần nhảy đến $n$ vị trí. Châu chấu có thể nhảy đến ô khác hoặc nhảy lên rồi đáp xuống vị trí mà châu chấu đang đứng, tuy nhiên châu chấu không thể nhảy từ vị trí 2 đến vị trí 0 hoặc từ vị trí 2 đến vị trí 6. Một hành trình được định nghĩa là vị trí của châu chấu qua các bước nhảy. Gọi $u_n$ là số hành trình khác nhau của châu chấu sau $n$ bước nhảy.

a) Tìm công thức truy hồi của dãy $(u_n)$.

b) Chứng minh rằng $u_{2026}\cdot u_{2028}$ là tổng của 2 số chính phương.

Xét dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó khi chia cho 5 dư 1. Viết 3 số hạng đầu của dãy số

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_n=\frac{2n+(-1{)}^n}{n+1}$. Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số.

Cho dãy số viết dưới dạng khai triển là $1,4,9,16,25$. Trong các công thức sau, công thức nào là công thức tổng quát của dãy số trên.

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_n=\frac{n+(-1{)}^n}{2n+1}$. Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số.