Cho tam giác $ABC$ có $AB=c$, $BC=a$, $AC=b$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho tam giác $ABC$ $(AB<AC)$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt tại $D$, $E$, $F$. Gọi $H$ là giao điểm của $AI$ và $BC$; $K$, $L$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $IB$ và $IC$. Qua $D$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AI$ cắt $IB$, $IC$ lần lượt tại $X$ và $Y$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $DE$, $DF$ và $EF$.



a) Chứng minh rằng $KL\parallel BC$ và bốn điểm $K$, $L$, $X$, $Y$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi $O_1$, $O_2$ lần lượt là tâm của hai đường tròn $(MKL)$ và $(DIP)$. Chứng minh rằng giao điểm của $(MKL)$ và $(DIP)$ thuộc đường tròn đường kính $O_1{O}_2$.

Một chiếc bình nước hình trụ được đặt trên bàn, lượng nước trong bình bằng đúng một phần ba dung tích của bình. An đặt một chiếc ống hút dài 21 cm vào trong bình. Khi đó một đầu của ống hút chạm vào đáy bình, đầu còn lại chạm vào miệng bình. Hỏi độ dài của phần ống hút bị ướt bằng bao nhiêu?

Cho tam giác $ABC$ nhọn có $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$. Lấy điểm $P$ sao cho hai đường phân giác trong của góc $\widehat{PBC}$ và $\widehat{PCB}$ cắt nhau tại điểm $I$ thuộc đoạn thẳng $AH$. Gọi $E$ là giao điểm của $BI$ và $AC$, $F$ là giao điểm của $CI$ và $AB$, $Q$ là giao điểm của $EF$ và $AH$. Lấy lần lượt hai đường thẳng đối xứng với $BC$ qua $AB$ và $AC$, hai đường thẳng này cắt nhau tại $K$.
a) Chứng minh đường tròn bàng tiếp góc $P$ của tam giác $PBC$ và đường tròn nội tiếp tam giác $KBC$ tiếp xúc với cạnh $BC$ tại cùng một điểm.
b) Chứng minh $P,Q,K$ thẳng hàng.

Cho tam giác $ABC$ có $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$ và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Hệ thức nào dưới đây sai?

Người ta định lát gạch tổ ong trên mảnh đất hình tứ giác $ABCD$ như mô hình bên dưới. Biết rằng $AB=6m$, $BC=CD=4m$, $\widehat{ABC}=100^0$, $\widehat{BCD}=120^0$ và giá lát gạch là 400 nghìn đồng trên một mét vuông bao gồm cả công thợ. Biết số tiền để lát gạch cả mảnh đất đó là $a$ nghìn đồng. Tính giá trị của $\frac{a}{4}$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

(1 điểm) Cho tam giác $ABC$ có $BC=a=13$, $AC=b=14$, $AB=c=15$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.