Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$; $M$ là trung điểm của $BC$, $H$ là hình chiếu của $M$ trên $AC$; $E$ là trung điểm của $MH$. Tính $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{BH}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $M(0;0)$, $A(0;a)$, $B(-b;0)$, $C(b;0)$ (vì tam giác cân tại $A$ nên $AM\perp BC$). Hình chiếu $H$ của $M$ trên $AC$: đường $AC$ có vectơ chỉ phương $(b;-a)$, giải $(H-M)\cdot (b;-a)=0$ cho $H=A+t(b;-a)$ với $t=\frac{a^2}{a^2+b^2}$, suy ra $H=\left(\frac{a^{2}b}{d};\frac{a{b}^2}{d}\right)$ với $d=a^2+b^2$. Vì $E$ là trung điểm $MH$: $E=\left(\frac{a^{2}b}{2d};\frac{a{b}^2}{2d}\right)$.
Ta có $\overrightarrow{AE}=\left(\frac{a^{2}b}{2d};\frac{-a(2a^2+b^2)}{2d}\right)$ và $\overrightarrow{BH}=\left(\frac{b(2a^2+b^2)}{d};\frac{a{b}^2}{d}\right)$.
Tích vô hướng: $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BH}=\frac{a^2{b}^2(2a^2+b^2)}{2d^2}-\frac{a^2{b}^2(2a^2+b^2)}{2d^2}=0$.
Vậy $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BH}=0$, trùng với đáp số đã cho trong tài liệu.