Cho parabol $(P):y^2=4x$ và hai điểm $A(0;-4);B(-6;4)$. $C$ là điểm trên $(P)$ sao cho tam giác $ABC$ có diện tích bé nhất. Tìm tọa độ điểm $C$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C(t^2;2t)$ với $t\in \mathbb{R}$ (vì $C\in (P):y^2=4x$). Ta có $\overrightarrow{AB}=(-6;8)$, $\overrightarrow{AC}=(t^2;2t+4)$. Diện tích tam giác $ABC$ là $S=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right|=\frac{1}{2}\left|-6(2t+4)-8t^2\right|=\frac{1}{2}\left|8t^2+12t+24\right|$. Xét $f(t)=8t^2+12t+24$ có đỉnh tại $t=-\frac{12}{16}=-\frac{3}{4}$ và $f(-\frac{3}{4})=8\cdot \frac{9}{16}-9+24=\frac{39}{2}>0$, nên $|f(t)|=f(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=-\frac{3}{4}$. Khi đó $x_C=t^2=\frac{9}{16}$, $y_C=2t=-\frac{3}{2}$. Vậy $C\left(\frac{9}{16};-\frac{3}{2}\right)$, diện tích nhỏ nhất $S_{\min }=\frac{39}{4}$.