Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, có cạnh đáy $AB=2\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$ và $A^{\prime }M=5$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }M$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ và $BC\subset (A^{\prime }BC)$ nên $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel (A^{\prime }BC)$. Do đó $d(B^{\prime }{C}^{\prime },A^{\prime }M)=d(B^{\prime },(A^{\prime }BC))$.

Thiết lập tọa độ: $M(0;0;0)$, $B(-\sqrt{3};0;0)$, $C(\sqrt{3};0;0)$, $A(0;\sqrt{3};0)$, $A^{\prime }(0;\sqrt{3};h)$.

Từ $A^{\prime }M=5$: $A^{\prime }{M}^2=3+h^2=25\Rightarrow h=\sqrt{22}$.

Mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ chứa vectơ $\overrightarrow{BC}=(2\sqrt{3};0;0)$ và $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(\sqrt{3};\sqrt{3};\sqrt{22})$, có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(0;-\sqrt{22};\sqrt{3})$, phương trình: $-\sqrt{22}y+\sqrt{3}z=0$.

Điểm $B^{\prime }(-\sqrt{3};0;\sqrt{22})$:
$$d(B^{\prime },(A^{\prime }BC))=\frac{|-\sqrt{22}\cdot 0+\sqrt{3}\cdot \sqrt{22}|}{\sqrt{22+3}}=\frac{\sqrt{66}}{5}.$$

Vậy khoảng cách giữa $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }M$ là $\frac{\sqrt{66}}{5}\approx 1,63$.