Cho hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thỏa mãn điều kiện $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$ và $\vec{a}.\vec{b}=3$. Độ dài vecto $3\vec{a}+5\vec{b}$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm của $SC$, $N$ là trung điểm của $OB$. Gọi $I$ là giao điểm của $SD$ với mặt phẳng $(AMN)$. Tính tỉ số $\frac{SI}{SD}$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai đường thẳng $d_1:\sqrt{3}x+y=0$ và $d_2:\sqrt{3}x-y=0$. Gọi $(C)$ là đường tròn tiếp xúc với $d_1$ tại A, cắt $d_2$ tại hai điểm $B,C$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Viết phương trình của $(C)$, biết tam giác $ABC$ có diện tích bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}$ và điểm $A$ có hoành độ dương.

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Lấy ngẫu nhiên một số từ $S$. Tính xác suất để số được chọn là số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11.

Cho hàm số $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x-1}$ có đồ thị $(C)$ và có bảng biến thiên bên dưới



Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận xiên $y=mx+n$. Tính tổng $S=m+n$ .

Cho dãy số $(u_n)$ thoả $\{\begin{array}{l}{u}_1=3\\ u_n=2u_{n-1}+n^2-n-3,\forall n\in \mathbb{N},n\ge 2\end{array}$. Tính tổng $S_{20}=u_1+u_2+\dots +u_{20}$

Cho tổng: $S=\frac{C_{2026}^1}{2}+\frac{2C_{2026}^2}{3}+\frac{3C_{2026}^3}{4}+\dots +\frac{2025C_{2026}^{2025}}{2026}+\frac{2026C_{2026}^{2026}}{2027}$

Biết rằng tổng $S$ được viết dưới dạng phân số tối giản $S=\frac{a\cdot 2^b+1}{c}$ với $a,b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tính giá trị của biểu thức $P=c-b+a$.