Cho đường tròn $(C):x^2+y^2-2x-4y-4=0$ và điểm $A(1;5)$. Tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ tại điểm $A$ có phương trình là:

Một sợi dây mềm không dãn được buộc cố định hai đầu vào hai vị trí $A$ và $A^{\prime }$ ở chân một bức tường phẳng thẳng đứng sao cho $A{A}^{\prime }=6$ m. Người ta dùng sợi dây này để giữ một cái cối có dạng hình tròn với bán kính bằng 2 m. Khi cái cối được đẩy ra xa bức tường đến mức tối đa, sợi dây ôm sát một phần của cối và căng đều về hai phía như hình vẽ (hình vẽ thể hiện góc nhìn từ trên xuống). Biết rằng khi đó tâm của cái cối cách bức tường một khoảng bằng 4 m. Hỏi chiều dài $l$ của sợi dây là bao nhiêu mét? (không làm tròn các bước tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)


Hình 1: Sợi dây ở trạng thái ban đầu. Hình 2: Trạng thái khi cái cối được đẩy căng tối đa.

Cho đường tròn (C) có phương trình $x^2+y^2-2x+2y-8=0$.
a) Tìm toạ độ tâm và bán kính của (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm $A(2;2)$.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn $x^2+y^2-2x+4y-5=0$ tại điểm $M(2;1)$ là

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25$. Biết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M(-2;2)$ có dạng $ax+by+14=0$. Tính $a+b$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $I(1;1)$ và đường thẳng $\Delta$ có phương trình $3x+4y+3=0$. Viết phương trình đường tròn $(C)$ có tâm là điểm $I$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$.

Với những giá trị nào của $m$ thì đường thẳng $\Delta :4x+3y+m=0$ tiếp xúc với đường tròn $(C)$: $x^2+y^2-9=0$.