Câu 5 (7,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $D$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. Gọi $E,F$ là tâm các đường tròn bàng tiếp đỉnh $A$ của các tam giác $ABD$, $ACD$ tương ứng. Gọi $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh $A$ của tam giác $ABC$.

a. Chứng minh rằng $AEJF$ là hình bình hành.

b. Chứng minh rằng tâm đường tròn $Euler$ của tam giác $AEF$ nằm trên đường thẳng $AD$.

(6,00 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân có trực tâm $H$ và nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Điểm $R$ thay đổi trên cung lớn $BC$ của đường tròn $(O)$ sao cho $AR$ không song song với $BC$. Trên đường thẳng $BC$ lấy hai điểm $S,T$ phân biệt sao cho đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ARS$ và $ART$ cùng tiếp xúc với $BC$. Các đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AS$ và $AT$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$ tại điểm thứ hai theo thứ tự là $M$ và $N$. Chứng minh:
a) Đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $RST$ di chuyển trên một đường thẳng cố định.

Câu 5. (5 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $M,N$ và $P$ theo thứ tự là trung điểm của $BC,CA$ và $AB$. Gọi $X,Y$ và $Z$ theo thứ tự là giao điểm của các tiếp tuyến khác $BC,CA,AB$ kẻ từ $N$ và $P$, kẻ từ $M$ và $P$, kẻ từ $M$ và $N$ tới $(I)$, sao cho tam giác $XYZ$ nhận $(I)$ làm đường tròn nội tiếp và các điểm $M,N,P$ theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng $YZ,ZX,XY$.

a. Chứng minh đường tròn nội tiếp mỗi tam giác $XPN,YPM,ZMN$ tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác $MNP$.

b. Chứng minh $I$ là tâm đẳng phương của các đường tròn nội tiếp tam giác $XPN,YPM$ và $ZMN$.

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$ và có tâm đường tròn nội tiếp $I$. Kẻ phân giác $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$ của tam giác $ABC$, trong đó $B^{\prime },C^{\prime }\in (O)$. Gọi $d$ là đường thẳng qua $I$, vuông góc $OI$. Giả sử $d$ cắt các đoạn thẳng $AB,BC,B^{\prime }{C}^{\prime }$ lần lượt ở $E,D,H$ và cắt tia đối của tia $AC$ ở $F$. Trên $(O)$ lấy điểm $L$ sao cho $AL$ song song với $d$. Gọi $A^{\prime }$ là trung điểm của cung lớn $BC$ của $(O)$ và $A^{\prime }I$ cắt lại $(O)$ tại $K$.

(1) Chứng minh rằng $AH=HI=ID=DL=DK$.

(2) Gọi $J$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$. Lấy điểm $G$ trên $(O)$ sao cho $HG$ vuông góc $IJ$ và lấy các điểm $R,S$ trên $(O)$ sao cho $GI=GR=GS$. Giả sử rằng $A,G$ nằm khác phía nhau so với đường thẳng $RS$. Chứng minh rằng $AG,RS$ cắt nhau tại một điểm trên $(J)$.

Bài 1 (6,0 điểm). Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $(T)$ thay đổi đi qua $B,C$ cắt hai cạnh $AB,AC$ lần lượt tại điểm thứ hai là $D,E$. Gọi $I$ là giao điểm của $BE$ và $CD$, $F$ là giao điểm của $DE$ và $BC$, $K$ là giao điểm thứ hai của $AF$ và $(O)$, $J$ là trung điểm $AF$. Đường thẳng $IJ$ cắt $(T)$ tại $M,N$ ($M$ nằm giữa $J$ và $N$). Tiếp tuyến của $(T)$ tại $N$ cắt $AF$ tại $S$.
a) Chứng minh rằng đường tròn $(SKI)$ đi qua trung điểm của $MN$.
b) Gọi $(\omega )$ là đường tròn đi qua $F,M$ và tiếp xúc với $(T)$. Chứng minh rằng $(\omega )$ luôn đi qua một điểm cố định khi $(T)$ thay đổi.

Cho hai đường tròn $(\omega )$ và $({\omega }^{\prime })$ có bán kính khác nhau, cắt nhau tại $A$ và $B$. Đường tròn $(A,AB)$ cắt $(\omega )$, $({\omega }^{\prime })$ tại điểm thứ hai lần lượt là $E$, $F$. Tiếp tuyến của $(A,AB)$ tại $B$ cắt $(\omega )$, $({\omega }^{\prime })$ lần lượt tại $M$, $N$ (khác $B$). Giả sử tia $ME$ và tia $NF$ cắt nhau tại $I$, $H$ là trực tâm của tam giác $BEF$.
a) Chứng minh rằng đường thẳng $AH$ đi qua tâm đường tròn $(MNI)$.
b) Tiếp tuyến tại $E$ của $(\omega )$ cắt $(A,AB)$ tại điểm thứ hai là $P$, tiếp tuyến tại $F$ của $({\omega }^{\prime })$ cắt $(A,AB)$ tại điểm thứ hai là $Q$. Gọi $J$ là giao điểm của $EF$ và $PQ$, $K$ là giao điểm của $PE$ và $QF$, $S$ là giao điểm của $IK$ và $MN$. Chứng minh rằng $HS$ vuông góc với $BJ$.

Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. $BI,CI,DI$ lần lượt cắt đường thẳng $EF$ tại $M,N,K$. Các điểm $P,Q$ nằm trên $BM,CN$ sao cho $CP$ và $BQ$ cùng song song với $AI$.

a) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $IBC,IMN,IPQ$ có một điểm chung khác $I$.

b) Gọi $S$ là giao điểm của $EF$ và $BC$, $T$ là giao điểm của hai tiếp tuyến tại $E$ và $F$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $S$ vuông góc với $TK$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMN$.