Câu 5 (7,0 điểm)
a) Chứng minh rằng trong 5 số nguyên dương bất kì, luôn tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3.

b) Chứng minh rằng trong 13 ước nguyên dương của $6^{2019}$, luôn tồn tại 3 số có tích là lập phương của một số tự nhiên.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 5.**

**a) Xét phần dư mod 3.** Chia 5 số nguyên dương đã cho theo phần dư khi chia cho 3 thành 3 nhóm: nhóm $N_0$ (dư 0), $N_1$ (dư 1), $N_2$ (dư 2).

- **Trường hợp 1:** Tồn tại một nhóm có ít nhất 3 số. Lấy 3 số đó, tổng phần dư của chúng là $0+0+0$, $1+1+1=3$ hoặc $2+2+2=6$, đều chia hết cho 3. Vậy tổng 3 số đó chia hết cho 3.
- **Trường hợp 2:** Mỗi nhóm có nhiều nhất 2 số. Vì tổng cộng có 5 số nên cả 3 nhóm đều khác rỗng (nếu có một nhóm rỗng thì tối đa $2+2=4$ số, mâu thuẫn). Lấy 1 số từ mỗi nhóm, tổng phần dư là $0+1+2=3\equiv 0(\mathrm{mod}3)$. Vậy tổng 3 số đó chia hết cho 3.

Vậy trong 5 số nguyên dương bất kì luôn tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3. $■$

**b) Mỗi ước nguyên dương của $6^{2019}=2^{2019}\cdot 3^{2019}$ có dạng $d=2^a{3}^b$ với $0\le a,b\le 2019$.**

Tích của ba ước $d_1{d}_2{d}_3=2^{a_1+a_2+a_3}{3}^{b_1+b_2+b_3}$ là lập phương của một số tự nhiên khi và chỉ khi
$$a_1+a_2+a_3\equiv 0(\mathrm{mod}3)\text{vaˋ}{b}_1+b_2+b_3\equiv 0(\mathrm{mod}3).$$

Gán mỗi ước $2^a{3}^b$ với điểm $(\bar{a},\bar{b})\in {\mathbb{Z}}_3^2$ (phần dư của $a,b$ mod 3), ta được 13 điểm (có thể trùng) trong tập 9 điểm của ${\mathbb{Z}}_3^2$.

**Bổ đề:** *Bất kỳ 7 điểm phân biệt trong ${\mathbb{Z}}_3^2$ đều chứa 3 điểm thẳng hàng, tức 3 điểm có tổng tọa độ $\equiv (0,0)(\mathrm{mod}3)$.*

*Chứng minh bổ đề:* Giả sử có 7 điểm phân biệt với không 3 điểm nào thẳng hàng. Trong mặt phẳng affine ${\mathbb{Z}}_3^2$ có 12 đường thẳng, mỗi đường chứa đúng 3 điểm. Phần bù của tập 7 điểm có đúng 2 điểm; mỗi điểm nằm trên 4 đường thẳng và hai điểm đó cùng nằm trên đúng 1 đường thẳng, nên số đường thẳng đi qua ít nhất một điểm trong phần bù là $4+4-1=7$. Do đó còn lại $12-7=5$ đường thẳng không chứa điểm nào của phần bù, tức cả 3 điểm trên mỗi đường đó đều thuộc tập 7 điểm — mâu thuẫn với giả thiết không có 3 điểm thẳng hàng. Bổ đề được chứng minh. (Ba điểm phân biệt $x,y,z$ thẳng hàng trong ${\mathbb{Z}}_3^2$ tương đương $x+y+z\equiv 0$.)

**Áp dụng:** Xét 13 điểm đã cho.

- Nếu có một lớp (điểm) chứa ít nhất 3 ước, lấy 3 ước đó: tổng số mũ mỗi loại $\equiv 3k\equiv 0(\mathrm{mod}3)$, tích là lập phương.
- Nếu mỗi lớp chứa nhiều nhất 2 ước, thì số lớp phân biệt bị chiếm ít nhất $\lceil 13/2\rceil =7$. Theo bổ đề, tồn tại 3 lớp phân biệt $({\bar{a}}_i,{\bar{b}}_i)$, $i=1,2,3$, với $({\bar{a}}_1+{\bar{a}}_2+{\bar{a}}_3,{\bar{b}}_1+{\bar{b}}_2+{\bar{b}}_3)\equiv (0,0)(\mathrm{mod}3)$. Lấy từ mỗi lớp một ước $d_i=2^{a_i}{3}^{b_i}$; khi đó $a_1+a_2+a_3\equiv 0$ và $b_1+b_2+b_3\equiv 0(\mathrm{mod}3)$, nên
$$d_1{d}_2{d}_3=2^{a_1+a_2+a_3}{3}^{b_1+b_2+b_3}={\left(2^{\frac{a_1+a_2+a_3}{3}}{3}^{\frac{b_1+b_2+b_3}{3}}\right)}^3$$
là lập phương của một số tự nhiên.

Vậy trong 13 ước nguyên dương của $6^{2019}$ luôn tồn tại 3 số có tích là lập phương của một số tự nhiên. $■$