Câu 5 (7,0 điểm)

1) Cho hai tập $A$ và $B$, mỗi tập chứa $n$ số tự nhiên liên tiếp. Hỏi ta có thể sắp xếp một hoán vị của $A$ và $B$ như $A_1=(a_1;a_2;\dots ;a_n)$ và $B_1=(b_1;b_2;\dots ;b_n)$ sao cho $C_1=(a_1+b_1;a_2+b_2;\dots ;a_n+b_n)$ là $n$ số tự nhiên liên tiếp được không trong mỗi trường hợp $n=2025$; $n=2026$?

2) Cho tập $A=\{1;2;3;\dots ;2025\}$. Tìm số nguyên dương $k$ lớn nhất $(k>2)$ sao cho ta có thể chọn được $k$ số phân biệt từ tập $A$ mà tổng của hai số phân biệt bất kỳ trong $k$ số được chọn không chia hết cho hiệu của chúng.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 5.**

**1)** Không mất tổng quát, giả sử $A=\{a,a+1,\dots ,a+n-1\}$, $B=\{b,b+1,\dots ,b+n-1\}$. Khi đó mọi tổng $a_i+b_i$ đều thuộc đoạn $[a+b,a+b+2n-2]$ gồm $2n-1$ giá trị. Nếu $C_1$ gồm $n$ số liên tiếp bắt đầu từ $s$ thì
$$\sum _{i=1}^n(a_i+b_i)=n(a+b)+n(n-1)=n(s+\frac{n-1}{2}).$$
Suy ra $s+\frac{n-1}{2}=a+b+n-1$ phải nguyên, tức $n$ phải **lẻ**. Do đó với $n=2026$ (chẵn) **không thể** làm được.

Với $n=2025$ (lẻ), làm được. Đặt $n=2m+1$ với $m=1012$. Đánh số $A=\{a_0,\dots ,a_{2m}\}$, $B=\{b_0,\dots ,b_{2m}\}$ theo thứ tự tăng dần ($a_i=a+i$, $b_i=b+i$) và ghép $a_i$ với $b_{i+m\mathrm{mod}n}$ (hoán vị vòng tròn dịch đi $m$). Khi đó:
- với $0\le i\le m$: tổng $=a+b+2i+m$;
- với $m<i\le 2m$: tổng $=a+b+2i+m-n=a+b+2i-m-1$.

Hai dãy này cùng lập thành các giá trị $a+b+m,a+b+m+1,\dots ,a+b+3m$, đúng $n=2m+1$ số tự nhiên liên tiếp (kiểm tra $n=5$: các tổng $2,4,6,3,5$ là $2,3,4,5,6$). Vậy: $n=2025$: **có thể**; $n=2026$: **không thể**.

**2)** Với hai số phân biệt $x>y$, điều kiện $(x-y)\nmid (x+y)$. Vì $x+y=(x-y)+2y$, điều kiện tương đương $(x-y)\nmid 2y$.

**Chặn trên:** Nếu hai số được chọn hơn nhau $1$ hoặc $2$, hiệu $$\begin{gathered} d\in \\ 1,2 \end{gathered}$$ luôn chia hết $2y$, tức $d\mid x+y$: bị cấm. Vậy hai số được chọn bất kỳ phải cách nhau ít nhất $3$ đơn vị. Sắp $k$ số tăng dần $x_1<\cdots <x_k$ thì $x_k\ge x_1+3(k-1)\ge 1+3(k-1)$, mà $x_k\le 2025$, suy ra $k\le \frac{2025-1}{3}+1=675$.

**Dựng tập đạt 675:** chọn tất cả các số $\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ trong $A$: $1,4,7,\dots ,2025$, gồm đúng $675$ số. Với $x>y$ trong tập này, $x-y=3t$ nên nếu $x-y\mid x+y$ thì $3\mid x+y$; nhưng $x+y\equiv 1+1\equiv 2(\mathrm{mod}3)$, mâu thuẫn. Vậy mọi cặp đều thỏa mãn.

Kết luận: $k_{\max }=675$.