Câu 3. (5,00 điểm) Gọi $X$ là tập hợp các số nguyên dương không vượt quá 2025. Xét tất cả các tập hợp $A$ là tập con của $X$ thỏa mãn “Nếu $x$, $y$ là hai phần tử bất kỳ của $A$ thì $|x-y|\notin \{20;30\}$”. Hỏi số phần tử nhiều nhất trong những tập hợp $A$ đó là bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Vì $20=2\cdot 10$ và $30=3\cdot 10$ đều chia hết cho $10$, điều kiện $|x-y|\notin \{20;30\}$ chỉ áp dụng cho các số cùng lớp thặng dư mod $10$. Do đó bài toán phân rã độc lập theo $10$ lớp thặng dư mod $10$.

Với lớp thặng dư $r$, các phần tử có dạng $x_k=r+10k$, $k=0,1,\dots ,n-1$. Vì $2025=202\cdot 10+5$, các lớp $r\equiv 1,2,3,4,5(\mathrm{mod}10)$ có $n=203$ phần tử, các lớp $r\equiv 6,7,8,9,0(\mathrm{mod}10)$ có $n=202$ phần tử. Hai số cùng lớp bị cấm khi $10|i-j|\in \{20;30\}$, tức $|i-j|\in \{2;3\}$.

Bài toán con: chọn tập chỉ số $S\subseteq \{0,\dots ,n-1\}$ sao cho hai phần tử bất kỳ chênh nhau khác $2;3$.

Chặn trên: trong $5$ chỉ số liên tiếp không thể chọn $3$ chỉ số. Thật vậy, nếu $a<b<c$ trong đoạn $5$ phần tử thì các khoảng cách $b-a,c-b\ge 1$ và $(b-a)+(c-a)\le 4$, nên các khả năng $(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)$; kiểm tra từng trường hợp đều cho một hiệu bằng $2$ hoặc $3$ (ví dụ $(1,1)\Rightarrow c-a=2$; $(2,2)\Rightarrow b-a=2$; $(1,3)\Rightarrow c-b=3$;...). Vậy mỗi khối $5$ liên tiếp chứa nhiều nhất $2$ phần tử, và khối cuối gồm $r=n\mathrm{mod}5\le 4$ phần tử cũng chứa nhiều nhất $\min (2,r)$ phần tử (với $r\ge 2$, $3$ phần tử trong đoạn $\le 4$ phần tử luôn tạo hiệu $2$ hoặc $3$). Do đó
$$|S|\le 2\lfloor \frac{n}{5}\rfloor +\min (2,n\mathrm{mod}5).$$

Xây dựng đạt chặn: chọn $S=\{k:k\equiv 0$ hoặc $1(\mathrm{mod}5)\}$. Khi đó hiệu hai phần tử của $S$ chỉ có thể là $1,4,5,6,9,10,\dots$, không bao giờ bằng $2$ hoặc $3$. Vậy
$$\alpha (n)=2\lfloor \frac{n}{5}\rfloor +\min (2,n\mathrm{mod}5).$$

Tính toán:
- $n=203=5\cdot 40+3$: $\alpha (203)=80+2=82$.
- $n=202=5\cdot 40+2$: $\alpha (202)=80+2=82$.

Cụ thể, trong mỗi lớp thặng dư chọn các số $r+10k$ với $k\equiv 0,1(\mathrm{mod}5)$; hai số cùng lớp khi đó chênh nhau $10|i-j|$ với $|i-j|\notin \{2;3\}$, còn hai số khác lớp thặng dư mod $10$ thì hiệu không thể bằng $20$ hay $30$.

Tổng: $5\cdot 82+5\cdot 82=820$.

Vậy số phần tử nhiều nhất của tập $A$ là $820$.