Câu 1. (5 điểm) Gọi $D$ là tập hợp tất cả các bộ số thực dương $(x,y,z)$ thỏa mãn $xyz=1$. Cho $k$ là số thực và xét biểu thức
$$F(x,y,z)=\frac{1}{k+x}+\frac{1}{k+y}+\frac{1}{k+z}.$$
a) Với $k=\frac{1}{2}$, chứng minh rằng $F(x,y,z)\ge 2$ với mọi $(x,y,z)\in D$.
b) Tìm tất cả các số thực dương $k$ sao cho ở trên $D$ biểu thức trên đạt được giá trị nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1. $(x,y,z)\in D$ với $x,y,z>0$, $xyz=1$; cần $k+x,k+y,k+z>0$. Với $k>0$ điều này luôn đúng; câu b) chỉ xét $k>0$ theo đề.

a) Với $k=\frac{1}{2}$: $\frac{1}{k+x}=\frac{1}{x+\frac{1}{2}}=\frac{2}{2x+1}=\frac{2yz}{yz+2xyz}=\frac{2yz}{yz+2}$ (do $xyz=1$).
Đặt $a=yz,b=zx,c=xy$ thì $abc=(xyz{)}^2=1$ và
$$F=2\left(\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\right)=2\left(3-2\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)\right).$$
Vậy cần chứng minh $\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\le 1$. Thật vậy, với $p=a+b+c,q=ab+bc+ca$ ($abc=1$):
$$\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\le 1⟺q+4p+12\le (a+2)(b+2)(c+2)=1+2q+4p+8⟺q\ge 3,$$
đúng theo AM–GM vì $abc=1$. Do đó $F\ge 2$. Dấu bằng khi $a=b=c=1$, tức $x=y=z=1$.

b) Kết luận: $0<k\le \frac{1}{2}$.

• Với $0<k\le \frac{1}{2}$: viết $s=x+y+z,q=xy+yz+zx$. Ta có
$$F=\frac{(k+y)(k+z)+(k+z)(k+x)+(k+x)(k+y)}{(k+x)(k+y)(k+z)}=\frac{3k^2+2ks+q}{k^3+k^{2}s+kq+1}.$$
Bất đẳng thức $F\ge \frac{3}{k+1}$ tương đương (sau khi khử mẫu dương) với
$$(k+1)(3k^2+2ks+q)-3(k^3+k^{2}s+kq+1)\ge 0⟺3k^2-3+ks(2-k)+q(1-2k)\ge 0.$$
Vì $s\ge 3,q\ge 3$ (AM–GM với $xyz=1$) và $0<k\le \frac{1}{2}$ (nên $2-k>0,1-2k\ge 0$):
$$3k^2-3+ks(2-k)+q(1-2k)\ge 3k^2-3+3k(2-k)+3(1-2k)=0.$$
Dấu bằng khi và chỉ khi $s=q=3$, tức $x=y=z=1$. Vậy với $0<k\le \frac{1}{2}$, $\min F=\frac{3}{k+1}$ đạt được tại $(1,1,1)\in D$ (với $k=\frac{1}{2}$ giá trị này bằng $2$, khớp với câu a).

• Với $k>\frac{1}{2}$: vì $\frac{1}{k+t}<\frac{1}{\frac{1}{2}+t}$ với mọi $t>0$ nên
$$F_k(x,y,z)>F_{1/2}(x,y,z)\ge 2>\frac{1}{k}\forall (x,y,z)\in D.$$
Mặt khác, lấy $y=z=\frac{1}{\sqrt{x}}$ cho $x\to 0^{+}$ thì $xyz=1$ và
$$F=\frac{1}{k+x}+\frac{2}{k+1/\sqrt{x}}\to \frac{1}{k}.$$
Vậy $\inf F=\frac{1}{k}$ nhưng không bộ nào trong $D$ đạt giá trị $\frac{1}{k}$, tức biểu thức không đạt giá trị nhỏ nhất trên $D$.

Kết hợp: biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất trên $D$ khi và chỉ khi $0<k\le \frac{1}{2}$.