Biết $\lim \frac{\sqrt{3n^2+1}+n}{2n+1}=\frac{\sqrt{a}+1}{b}$, với $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tìm $a+b$.

Tìm $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{7n^2+5n+1954}{n^2+1}$ ?

Cho tam giác $OMN$ vuông cân tại $O$, $OM=ON=5$. Trong tam giác $OMN$, vẽ hình vuông $O{A}_1{B}_1{C}_1$ sao cho các đỉnh $A_1,B_1,C_1$ lần lượt nằm trên các cạnh $OM,MN,ON$. Trong tam giác $A_{1}M{B}_1$, vẽ hình vuông $A_1{A}_2{B}_2{C}_2$ sao cho các đỉnh $A_2,B_2,C_2$ lần lượt nằm trên các cạnh $A_{1}M$, $M{B}_1$, $A_1{B}_1$. Tiếp tục quá trình đó mãi mãi, ta được một dãy các hình vuông (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính tổng diện tích các hình vuông này (làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho tam giác $OMN$ vuông cân tại $O$, $OM=ON=5$. Trong tam giác $OMN$, vẽ hình vuông $O{A}_1{B}_1{C}_1$ sao cho các đỉnh $A_1$, $B_1$, $C_1$ lần lượt nằm trên các cạnh $OM$, $MN$, $ON$. Trong tam giác $A_{1}M{B}_1$, vẽ hình vuông $A_1{A}_2{B}_2{C}_2$ sao cho các đỉnh $A_2$, $B_2$, $C_2$ lần lượt nằm trên các cạnh $A_{1}M$, $M{B}_1$, $A_1{B}_1$. Tiếp tục quá trình đó mãi mãi, ta được một dãy các hình vuông (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính tổng diện tích các hình vuông này (làm tròn đến hàng phần trăm).

Tìm ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{7n^2+5n+1954}{n^2+1}$?

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=\frac{1}{2}$ và $u_{n+1}=\frac{3-u_n^2}{2}$ với mọi số nguyên dương $n$. Chứng minh $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Tìm giới hạn $\lim \frac{2n+3n^3}{4n^2+2n+1}$ là: