b) Cho tam giác ABC có AD là trung tuyến, gọi M là trung điểm của AD. Đường thẳng BM cắt AC tại N. Biết AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCN, chứng minh rằng $\frac{BM}{MN}={\left(\frac{AC}{AB}\right)}^2$.

AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCN nên ta có $\widehat{ABN}=\widehat{ACB}$ (1)

$(1)\iff \Delta ABC\sim \Delta ANB\iff {\left(\frac{BC}{BN}\right)}^2={\left(\frac{AC}{AB}\right)}^2$ (0,5 điểm)

Áp dụng định lý Sin trong tam giác ABM và AMN ta có:
$\frac{BM}{MN}=\frac{\sin \widehat{MAB}.\sin \widehat{MNA}}{\sin \widehat{ABM}.\sin \widehat{NAM}}$

Tương tự, từ tam giác ABD và tam giác ADC ta có
$\frac{\sin \widehat{MAB}}{\sin \widehat{NAM}}=\frac{BD\sin \widehat{ABD}}{DC\sin \widehat{DCA}}=\frac{\sin \widehat{ABD}}{\sin \widehat{DCA}}$ (0,5 điểm)

Trong tam giác NBC ta có ${\left(\frac{BC}{BN}\right)}^2=\frac{{\sin }^2\widehat{BNC}}{{\sin }^2\widehat{BCN}}=\frac{{\sin }^2\widehat{MNA}}{{\sin }^2\widehat{BCN}}$ (0,5 điểm)

$\frac{BM}{MN}=\frac{\sin \widehat{ABD}.\sin \widehat{MNA}}{\sin \widehat{ABM}.\sin \widehat{DCA}}=\frac{{\sin }^2\widehat{MNA}}{{\sin }^2\widehat{BCN}}={\left(\frac{BC}{BN}\right)}^2$ (0,5 điểm)