An và Bình chơi trò chơi trên bảng 8 x 8. Hai bạn thay phiên nhau đi. Mỗi bước, An đánh dấu một ô trống nào đó (chưa được đánh dấu cũng như không bị phủ bởi các quân domino). Còn mỗi bước, Bình được phép chọn 2 ô kề nhau và phủ chúng bởi một quân domino sao cho hai ô này đều chưa bị phủ bởi domino, và tổng số ô bị đánh dấu mà quân domino đó phủ lên là 0 hoặc 2 (tức là, hoặc cả hai ô đều đã bị đánh dấu, hoặc cả hai ô đều chưa bị đánh dấu). Người nào không thể đi được nữa thì thua. Hỏi ai có chiến lược thắng cuộc nếu:

a) An là người đi trước?

b) Bình là người đi trước?

* Một domino là một hình chữ nhật gồm hai ô kề nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi U là số ô chưa bị đánh dấu và chưa bị phủ domino. Mỗi nước của An biến một ô U thành ô đánh dấu (U giảm đúng 1); mỗi nước của Bình phủ 2 ô chưa phủ có cùng trạng thái, nên U giảm 0 hoặc 2. An thua khi và chỉ khi đến lượt anh mà U = 0; Bình thua khi không còn hai ô kề nhau chưa phủ cùng trạng thái (hoặc không đủ hai ô chưa phủ). Ván chơi hữu hạn: mỗi lượt của An giảm U đúng 1 đơn vị nên sau nhiều nhất 64 lượt An, U về 0 và trò chơi kết thúc.

a) An đi trước. Đến mỗi lượt của An, cả hai đã đi đúng k lượt: An đã đánh dấu k ô, Bình đã phủ 2k ô, nên $U=64-3k$. Vì $64\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ nên $64-3k\ne 0$ với mọi $k$, tức $U\ge 1$: An luôn có ô để đánh dấu, không bao giờ bị kẹt. Vì trò chơi chắc chắn kết thúc và An không bao giờ không đi được, nên người không đi được trước là Bình. Vậy An thắng.

b) Bình đi trước. Đến lượt của An (lượt thứ $k+1$ của anh), Bình đã đi $k+1$ lượt, An đã đi $k$ lượt, nên $U=64-k-2(k+1)=62-3k$. Vì $62\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ nên $62-3k\ne 0$, tức $U\ge 2$: An luôn có nước đi. Lập luận như trên, vì An không bao giờ bị kẹt và ván chơi hữu hạn, nên cuối cùng Bình là người không đi được. Vậy An cũng thắng.

Kết luận: Trong cả hai trường hợp a) và b), An đều có chiến lược thắng (thực chất An thắng bất kể anh đánh dấu ô nào, nhờ bất biến $U\not\equiv 0$ theo mod 3 tại mọi lượt của An).