Tìm số nguyên dương $N$ nhỏ nhất sao cho tồn tại 2026 số nguyên không âm liên tiếp mà tổng tất cả các chữ số của chúng bằng $N$.

Đầu tiên ta có bổ đề sau:

Bổ đề: Với mọi số nguyên không âm $a$ và mọi số nguyên dương $n$, ta có
$$\sum _{i=0}^{n-1}S(a+i)\ge \sum _{i=0}^{n-1}S(i).$$

Chứng minh bổ đề: Với mỗi số nguyên không âm $m$, gọi $d_r(m)$ là chữ số của $m$ tại hàng $10^r$. Khi đó
$$d_r(m)=\lfloor \frac{m}{10^r}\rfloor -10\lfloor \frac{m}{10^{r+1}}\rfloor ,S(m)=\sum _{r\ge 0}{d}_r(m).$$

Ta sẽ chứng minh rằng tại mỗi hàng thập phân, tổng các chữ số của đoạn $a,a+1,\dots ,a+n-1$ không nhỏ hơn tổng tương ứng của đoạn $0,1,\dots ,n-1$. Cố định $r\ge 0$, đặt $q=10^r$ và $P=10q=10^{r+1}$. Dãy các chữ số tại hàng $10^r$ là một dãy tuần hoàn có chu kì $P$. Trong một chu kì, dãy này có dạng

$$\underset{q\text{ soˆˊ}}{\underbrace{0,\dots ,0}},\underset{q\text{ soˆˊ}}{\underbrace{1,\dots ,1}},\dots ,\underset{q\text{ soˆˊ}}{\underbrace{9,\dots ,9}}.$$

Kí hiệu một chu kì trên bởi $c_0,c_1,\dots ,c_{P-1}$. Ta có $c_0\le c_1\le \cdots \le c_{P-1}$ và tổng của một chu kì là

$$C=\sum _{j=0}^{P-1}{c}_j=q(0+1+\cdots +9)=45q.$$

Viết $n=kP+t$, trong đó $k\ge 0$ và $0\le t<P$. Do dãy đang xét có chu kì $P$, bất kì $kP$ số hàng liên tiếp nào cũng gồm đúng $k$ chu kì đầy đủ, nên có tổng bằng $kC$. Vì vậy, khi xét một đoạn gồm $n$ số hàng liên tiếp, ta chỉ cần so sánh tổng của $t$ số hàng còn lại.

Nếu $t=0$ thì tổng tại hàng $10^r$ của mọi đoạn gồm $n$ số hàng liên tiếp đều bằng $kC$, nên khẳng định hiển nhiên đúng. Xét $t>0$. Gọi $u$ là vị trí bắt đầu của $t$ số hàng còn lại trong chu kì, với $0\le u<P$.

Nếu $u+t\le P$, đoạn này không đi qua chỗ chuyển từ 9 về 0 và gồm

$$c_u,c_{u+1},\dots ,c_{u+t-1}.$$

Do dãy $c_0,c_1,\dots ,c_{P-1}$ không giảm, với mọi $0\le j<t$ ta có $c_{u+j}\ge c_j$. Bởi vậy

$$c_u+c_{u+1}+\cdots +c_{u+t-1}\ge c_0+c_1+\cdots +c_{t-1}.$$

Nếu $u+t>P$, đoạn này đi qua chỗ chuyển từ 9 về 0 và gồm

$$c_u,c_{u+1},\dots ,c_{P-1},c_0,c_1,\dots ,c_{u+t-P-1}.$$

Đặt $v=u+t-P$. Phần bù của đoạn trên trong cả chu kì là

$$c_v,c_{v+1},\dots ,c_{u-1},$$

gồm đúng $P-t$ số hàng. Do $u<P$ nên $v<t$. Dễ thấy với mọi $0\le j<P-t$ ta có $c_{v+j}\le c_{t+j}$. Suy ra

$$c_v+c_{v+1}+\cdots +c_{u-1}\le c_t+c_{t+1}+\cdots +c_{P-1}.$$

Lấy tổng cả chu kì trừ hai vế, ta được

$$c_u+\cdots +c_{P-1}+c_0+\cdots +c_{v-1}\ge c_0+c_1+\cdots +c_{t-1}.$$

Như vậy, trong cả hai trường hợp, tổng của $t$ số hàng liên tiếp bất kì trong chu kì đều không nhỏ hơn tổng của $t$ số hàng đầu tiên. Do đó

$$\sum _{i=0}^{n-1}{d}_r(a+i)\ge \sum _{i=0}^{n-1}{d}_r(i).$$

Bất đẳng thức này đúng với mọi $r\ge 0$. Chọn $R$ đủ lớn để $a+n-1<10^{R+1}$. Khi đó tất cả các chữ số ở những hàng cao hơn $10^R$ đều bằng 0. Vì vậy bổ đề được chứng minh do

$$\sum _{i=0}^{n-1}S(a+i)=\sum _{r=0}^R\sum _{i=0}^{n-1}{d}_r(a+i)\ge \sum _{r=0}^R\sum _{i=0}^{n-1}{d}_r(i)=\sum _{i=0}^{n-1}S(i).$$

Áp dụng bổ đề với $n=2026$, tổng chữ số của bất kì 2026 số nguyên không âm liên tiếp nào cũng không nhỏ hơn ${\sum }_{i=0}^{2025}S(i)={\sum }_{i=0}^{999}S(i)+{\sum }_{i=1000}^{1999}S(i)+{\sum }_{i=2000}^{2009}S(i)+{\sum }_{i=2010}^{2019}S(i)+{\sum }_{i=2020}^{2025}S(i)=13500+14500+65+75+39=28179$, vì thế ta suy ra được nên $N_{\min }=28179$, và dấu bằng khi lấy 2026 số tự nhiên đầu tiên.