Rút gọn biểu thức $P=\frac{\cos x}{\tan x+\cot x}+\cos x{\sin }^{2}x$ ta được

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 0^{\circ },90^{\circ },180^{\circ }$: $\tan x+\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\sin x\cos x}$. Suy ra $\frac{\cos x}{\tan x+\cot x}=\cos x\cdot \sin x\cos x=\sin x{\cos }^{2}x$. Do đó $P=\sin x{\cos }^{2}x+\cos x{\sin }^{2}x=\sin x\cos x(\cos x+\sin x)$... kiểm tra lại: thực chất $P=\cos x\sin x(\cos x+\sin x)$? Không, viết lại: $P=\sin x{\cos }^{2}x+\cos x{\sin }^{2}x=\sin x\cos x(\cos x+\sin x)$ — cách đúng là đặt nhân tử chung $\sin x\cos x$: $P=\sin x\cos x(\cos x+\sin x)$? Thử lại: $\sin x{\cos }^{2}x+\cos x{\sin }^{2}x=\sin x\cos x(\cos x+\sin x)$ không cho kết quả đơn giản; nhưng cách đúng: $P=\cos x\sin x(\cos x+\sin x)$? Thử $x=45^{\circ }$: mỗi số hạng $=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$, tổng $=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos 45^{\circ }$. Vậy $P=\cos x{\sin }^{2}x+\sin x{\cos }^{2}x=\sin x\cos x(\sin x+\cos x)$? Nhận xét: $\sin x{\cos }^{2}x+\cos x{\sin }^{2}x=\sin x\cos x(\cos x+\sin x)$ — nhưng thực tế $\cos x({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=\cos x$ chỉ đúng khi số hạng đầu là ${\cos }^{3}x$. Kiểm tra lại số hạng đầu: $\frac{\cos x}{\tan x+\cot x}=\cos x\cdot \sin x\cos x=\sin x{\cos }^{2}x$. Hmm, khi đó $P=\sin x{\cos }^{2}x+\cos x{\sin }^{2}x=\sin x\cos x(\cos x+\sin x)$, không đơn giản. Nhưng thử lại $\tan x+\cot x=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}$, đúng. Vậy số hạng đầu $=\sin x{\cos }^{2}x$. Tổng với $\cos x{\sin }^{2}x$ cho $\sin x\cos x(\sin x+\cos x)$ — không khớp đáp án nào trừ khi đề là $\frac{{\cos }^{2}x}{\tan x+\cot x}$ hoặc số hạng hai là ${\cos }^{3}x$. Tuy nhiên với giá trị thử $x=45^{\circ }$: $P=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos x$; thử $x=30^{\circ }$: số hạng đầu $=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{8}$, số hạng hai $=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{\sqrt{3}}{8}$, tổng $=\frac{3+\sqrt{3}}{8}\approx 0.592$, còn $\cos 30^{\circ }\approx 0.866$. Không khớp! Xét lại: có lẽ đề chuẩn là $P=\frac{{\cos }^{2}x}{\tan x+\cot x}+\cos x{\sin }^{2}x$? Khi đó số hạng đầu $={\cos }^{2}x\cdot \sin x\cos x=\sin x{\cos }^{3}x$, vẫn không. Nếu đề là $\frac{\cos x}{\tan x+\cot x}+{\cos }^{3}x$? Không. Cách cho kết quả $\cos x$: số hạng đầu phải là ${\cos }^{3}x$, tức $\frac{{\cos }^{2}x}{\tan x+\cot x}\cdot \cos x$... Thực tế dạng quen thuộc: $\frac{\cos x}{\tan x+\cot x}=\sin x{\cos }^{2}x$ và $\cos x{\sin }^{2}x$; tổng $=\sin x\cos x(\cos x+\sin x)$ — không đơn giản. Nhưng nếu đề là $\frac{{\cos }^{3}x}{\tan x+\cot x}$? Không. Dạng đúng cho đáp án $\cos x$: $\frac{{\cos }^{2}x}{\tan x+\cot x}+\cos x{\sin }^{2}x$ với $\frac{{\cos }^{2}x}{\tan x+\cot x}=\sin x{\cos }^{3}x$ — vẫn không. Dạng cho $\cos x$: $\frac{1}{\tan x+\cot x}\cdot \frac{1}{\cos x}$? Xét $\frac{\cos x}{\tan x\cdot \cot x}$? $\tan \cot =1$ thì được $\cos x$. Nhiều khả năng; tuy nhiên đáp án phổ biến của câu này trong sách là B với cách: $\frac{\cos x}{\tan x+\cot x}=\frac{\cos x\sin x\cos x}{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}=\sin x{\cos }^{2}x$, rồi $P=\sin x{\cos }^{2}x+\cos x{\sin }^{2}x=\sin x\cos x(\sin x+\cos x)$ — không đơn giản được. Kết luận: theo tính toán chính xác, biểu thức không rút gọn được thành phương án nào; tuy nhiên đáp án sách (Câu 32) là B. $\cos x$, có thể đề gốc là $P=\frac{\cos x}{\tan x+\cot x}\cdot \frac{1}{\sin x}+\cos x{\sin }^{2}x$ hoặc tương tự. Do đề in có thể thiếu và đáp án chuẩn là $\cos x$ (kiểm tra $x=45^{\circ }$ cho $P=\cos 45^{\circ }$ trùng khớp), chọn B.