Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $\{\begin{array}{l}9u_2-u_7=1\\ 2u_4-u_{10}=-10\end{array}$.
1. Tìm $u_1$ và công sai $d$.
2. Tìm công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng trên.
3. Tính tổng $u_1+u_2+\dots +u_{33}$.
4. Tính tổng $T=u_{33}+u_{34}+\dots +u_{55}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 11: Với cấp số cộng $(u_n)$, ta có $u_n=u_1+(n-1)d$.

1) Thay vào hệ phương trình:
- $9u_2-u_7=9(u_1+d)-(u_1+6d)=8u_1+3d=1$.
- $2u_4-u_{10}=2(u_1+3d)-(u_1+9d)=u_1-3d=-10$, suy ra $u_1=3d-10$.

Thế vào phương trình đầu: $8(3d-10)+3d=1\Rightarrow 27d=81\Rightarrow d=3$, suy ra $u_1=3\cdot 3-10=-1$.

Vậy $u_1=-1$, $d=3$.

2) Công thức số hạng tổng quát: $u_n=u_1+(n-1)d=-1+3(n-1)=3n-4$.

3) Tổng 33 số hạng đầu: $S_{33}=\frac{33\left(u_1+u_{33}\right)}{2}$ với $u_{33}=3\cdot 33-4=95$. Vậy $S_{33}=\frac{33(-1+95)}{2}=\frac{33\cdot 94}{2}=1551$.

4) Tổng $T=u_{33}+u_{34}+\dots +u_{55}$ gồm $55-33+1=23$ số hạng, là cấp số cộng với số hạng đầu $u_{33}=95$, số hạng cuối $u_{55}=3\cdot 55-4=161$. Vậy $T=\frac{23(95+161)}{2}=23\cdot 128=2944$.