Bài 5 (7,0 điểm). Cho đa thức có hệ số hữu tỉ, bậc bằng 2026 và có 2026 nghiệm thực lập thành một cấp số cộng với công sai . Chứng minh rằng:
a) , với mọi ;
b) là số hữu tỉ.
Bài 5 (7,0 điểm). Cho đa thức có hệ số hữu tỉ, bậc bằng 2026 và có 2026 nghiệm thực lập thành một cấp số cộng với công sai . Chứng minh rằng:
a) , với mọi ;
b) là số hữu tỉ.
a) , với mọi ;
b) là số hữu tỉ.
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
a) Ta có (1). (1,0 điểm)
Mặt khác (2). (1,5 điểm)
Từ (1), (2) suy ra , (3). (0,5 điểm)
b) Giả sử ; ; .
Theo Định lí Viet, ta có và (4). (1,0 điểm)
Do đó (5). (1,0 điểm)
Từ (3) suy ra (6). (1,0 điểm)
Vì và nên từ (5) và (6) suy ra . (1,0 điểm)
Mặt khác (2). (1,5 điểm)
Từ (1), (2) suy ra , (3). (0,5 điểm)
b) Giả sử ; ; .
Theo Định lí Viet, ta có và (4). (1,0 điểm)
Do đó (5). (1,0 điểm)
Từ (3) suy ra (6). (1,0 điểm)
Vì và nên từ (5) và (6) suy ra . (1,0 điểm)