Kỳ Thi Olympic Toán 10 Lớp 10 - 11 2024-2025

Câu 1. (1,0 điểm) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{x+2m+2}{x-m}$ xác định trên $(-1;0)$ có dạng $T=(-\infty ;a]\cup [b;+\infty )$. Khi đó $a.b$ có giá trị bằng bao nhiêu?

Câu 2. (1,0 điểm) Điểm kiểm tra môn Toán của một nhóm gồm 10 học sinh như sau

3 4 4,5 5 6 6,5 8 8,5 9 10

Khi đó trung vị của mẫu số liệu trên bằng bao nhiêu?

Câu 3. (1,0 điểm) Cho parabol $(P):y=a{x}^2+bx+4$ đi qua điểm $A(1;7)$ và có trục đối xứng $x=-1$. Tích $ab$ nhận giá trị bằng bao nhiêu?

Câu 4. (1,0 điểm) Cho Parabol $y=x^2+2mx+m$. Khi $m$ thay đổi, tập hợp đỉnh của Parabol là một đường cong cắt đường thẳng $y=x+1$ tại điểm $A(a,b)$. Tổng $a+b$ bằng bao nhiêu?

Câu 5. (1,0 điểm) Trong năm 2025, một cửa hàng kinh doanh xe máy dự định kinh doanh hai loại xe máy Lead và xe máy Vision, với tổng số vốn ban đầu không vượt quá 36 tỉ đồng. Giá nhập về 1 chiếc xe máy Lead là 40 triệu đồng, lợi nhuận dự kiến là 5 triệu đồng một chiếc. Giá nhập về 1 chiếc xe máy Vision là 30 triệu đồng, lợi nhuận dự kiến là 3,2 triệu đồng một chiếc. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu thị trường không vượt quá 1100 chiếc xe cả hai loại và nhu cầu xe Lead không vượt quá 1,5 lần nhu cầu xe Vision. Hỏi lợi nhuận có thể thu được lớn nhất của cửa hàng là bao nhiêu tiền? (Viết câu trả lời theo đơn vị triệu đồng).

Câu 6. (1,0 điểm) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $x^2-4x+m=0$ có hai nghiệm dương phân biệt?

Câu 7. (1,0 điểm) Cho tam giác $ABC$, trọng tâm $G$. Trên cạnh $AB$ kéo dài lấy điểm $I$ sao cho $B$ là trung điểm $AI$. Trên cạnh $AC$ lấy điểm $J$ sao cho $AJ=\frac{2}{5}AC$. Biết $\overrightarrow{IG}=k\overrightarrow{IJ}$, hỏi $k$ bằng bao nhiêu?

Câu 8. (1,0 điểm) Để đo chiều cao $CD$ của cây cổ thụ, bạn An chọn trên mặt đất hai điểm $A,B$ có khoảng cách $AB=12m$ cùng thẳng hàng với chân $C$ của gốc cây để đặt giác kế. Chân của giác kế có chiều cao $h=1,3m$. Gọi hai điểm quan sát $A_1;B_1$ cùng thẳng hàng với $C_1$ thuộc chiều cao $CD$ của cây cổ thụ. Bạn Bình đo được góc $D{A}_1{C}_1=49^{\circ }$ và góc $D{B}_1{C}_1=35^{\circ }$. Bạn An đo chiều cao của cây cổ thụ đó bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 9. (1,0 điểm) Ký hiệu $a$, $b$, $c$ lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh $A$, $B$, $C$ của tam giác $ABC$. Biết tam giác $ABC$ có các cạnh thoả hệ thức $(a+b+c)(a+b-c)=3ab$. Khi đó số đo của góc $C$ bằng bao nhiêu ?

Câu 10. (1,0 điểm) Cho $ABC$ đều có cạnh bằng $2a$. Gọi $d$ là đường thẳng qua $A$ và song song với đường thẳng $BC$ và điểm $M$ di động trên đường thẳng $d$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|$.

Câu 11. (4,0 điểm) Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho parabol $(P):y=x^2-3mx+2m^2+m+1$ và đường thẳng $(D):y=x+2$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $(D)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ sao cho diện tích tam giác $OAB$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 12. (4,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$. Các điểm $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ và $I(7;3)$ là trọng tâm tam giác $ABN$. Điểm $E$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $IE=IA$ (E khác A) và đường thẳng $IE:x+2y-13=0$. Biết điểm $M$ thuộc đường thẳng $(d_1):x+3y-12=0$, $B$ thuộc đường thẳng $(d_2):x+y+2=0$ và $A$ có hoành độ lớn hơn 5. Tìm tọa độ các điểm $A,B,C$.

Câu 13. (2,0 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số dạng $\overline{abc}$ thỏa mãn $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác cân ( kể cả tam giác đều ) ?