Kỳ Thi Chọn Học Sinh Giỏi THPT Toán 2024-2025 Sở GD&ĐT Khánh Hòa - Đề Số 1

Câu 1 (3,50 điểm):
a) Giải phương trình $\cos x(\sin x+\cos x-\sin 3x)=\sin x\sin 3x$.
b) Cho dãy số hữu hạn $u_n={\log }_{2025}\left(\frac{2025n}{2025-n}\right)$, với $n\in \{1;2;3;...;2024\}$. Hãy tính tổng tất cả các số hạng của dãy số trên.

Câu 2 (3,50 điểm):
a) Cho hàm số $y=2(1+m)x^3-3(m+1)x^2+x+\frac{m}{2}-1$ (1), (với $m$ là tham số). Chứng minh rằng đồ thị của hàm số (1) luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng với mọi $m$.
b) Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn:
$$e^{x-3y}+e^{1-xy}+x(1-y)+1=e^{xy-1}+\frac{1}{e^{x-3y}}+3y,\text{(với }x\ge 0).$$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=x-2y+3$.

Câu 3 (4,00 điểm):
a) Giải bất phương trình $\sqrt{\log x+1}+\sqrt{\log x^2-3}+\sqrt{17-\log x^3}\ge 3\sqrt{5}$.
b) Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn
$$\{\begin{array}{l}{x}^2+3y^2=27\\ y^2+yz+z^2=16\\ x^2+3xz+3z^2=75\end{array}$$
Tính giá trị của biểu thức $P=2xy+3yz+zx$.

Câu 4 (3,00 điểm):
a) Một lớp học có $(2n+3)$ học sinh (với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$), trong đó có ba em $A,B,C$. Xếp ngẫu nhiên các học sinh của lớp học vào ngồi một dãy ghế có đánh số thứ tự từ 1 đến $(2n+3)$, mỗi em ngồi một ghế. Biết xác suất để số ghế của ba em $A,B,C$ theo thứ tự đó tạo thành cấp số cộng là $\frac{17}{1155}$. Tìm số học sinh của lớp học.
b) Có 35 con thỏ (bao gồm thỏ trắng và thỏ đen) được nhốt vào hai chuồng. Bắt ngẫu nhiên mỗi chuồng một con thỏ. Biết xác suất để bắt được hai con thỏ đen là $\frac{247}{300}$, hãy tính xác suất để bắt được hai con thỏ trắng.

Câu 5 (6,00 điểm):
a) Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ và $M$ là trung điểm của $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng $AM$ và $B{C}^{\prime }$.
b) Cho tứ diện đều $ABCD$ và điểm $E$ trên cạnh $AD$ sao cho tan của góc giữa hai mặt phẳng $(BCD)$ và $(BCE)$ bằng $\frac{5\sqrt{2}}{7}$. Tính tỷ số thể tích của hai khối tứ diện $ABCE$ và $EBCD$.
c) Cho tứ diện $ABCD$ có $\widehat{ACB}=60^{\circ }$ và
$$\widehat{ACD}+\widehat{BCD}=\widehat{CAD}+\widehat{BAD}+\widehat{BAC}=\widehat{CBD}+\widehat{ABD}+\widehat{ABC}=180^{\circ }.$$
Gọi $S$ là diện tích toàn phần của hình tứ diện $ABCD$. Hãy tìm giá trị lớn nhất của $S$, biết chu vi tam giác $ABC$ bằng 3.