Kỳ Thi Chọn Học Sinh Giỏi Quốc Gia Toán 2024-2025 - Ngày Thi Thứ Hai 26/12/2024 - Đề Số 2

Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ có các đường cao $AD,BE,CF$ với $D\in BC,E\in CA$ và $F\in AB$. Gọi $H,O$ và $I$ tương ứng là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$, $M,N$ và $P$ tương ứng là trung điểm các đoạn thẳng $BC,CA$ và $AB$. Gọi $X,Y$ và $Z$ tương ứng là giao điểm của các cặp đường thẳng $(AI,NP),(BI,PM)$ và $(CI,MN)$.
a) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AXD,BYE,CZF$ có hai điểm chung nằm trên đường thẳng $OH$.
b) Các đường thẳng $XP,YM$ và $ZN$ tương ứng cắt lại các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AXD,BYE$ và $CZF$ tại các điểm $X^{\prime },Y^{\prime }$ và $Z^{\prime }$ ($X^{\prime }\ne X,Y^{\prime }\ne Y,Z^{\prime }\ne Z$). Gọi $J$ là điểm đối xứng của $I$ qua $O$. Chứng minh rằng $X^{\prime },Y^{\prime }$ và $Z^{\prime }$ cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với đường thẳng $HJ$.

Cho một bảng ô vuông $3k\times 3k$ ($k$ là số nguyên dương), các ô của bảng được đánh tọa độ theo cột và hàng: ô $(i;j)$ nằm trên cột thứ $i$ từ trái qua phải và trên hàng thứ $j$ từ dưới lên trên. Người ta muốn đặt $4k$ viên bi vào các ô của bảng, mỗi ô có không quá một viên, thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
- Mỗi hàng và mỗi cột đều có ít nhất một viên bi;
- Mỗi viên bi nằm cùng hàng hoặc cùng cột với ít nhất một viên bi khác.
a) Xét $k=1$. Có bao nhiêu cách đặt 4 viên bi vào bảng thỏa mãn các điều kiện trên? (Hai cách đặt bi được coi là khác nhau nếu có một ô $(i;j)$ có bi trong một cách đặt nhưng không có bi trong cách còn lại.)
b) Xét $k\ge 1$ tổng quát. Xác định số tự nhiên $N$ lớn nhất sao cho với mọi cách đánh dấu $N$ ô phân biệt trên bảng, luôn tồn tại một cách đặt $4k$ viên bi thỏa mãn các điều kiện trên mà không có viên bi nào đặt ở một trong $N$ ô đã được đánh dấu.

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$$\sqrt{3a^3+4bc+b+c}+\sqrt{3b^3+4ca+c+a}+\sqrt{3c^3+4ab+a+b}\ge 9.$$

——————– HẾT ——————–
* Thí sinh KHÔNG được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;
* Giám thị KHÔNG giải thích gì thêm.