Kỳ Thi Chọn Học Sinh Giỏi Cấp Tỉnh THPT Toán 2024-2025

Câu 1. (6,00 điểm)
1. Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để phương trình $\sqrt{x^2+m}=2x-1$ có nghiệm duy nhất.
2. Giải hệ phương trình: $$\{\begin{array}{l}{x}^2+yz=6\\ x^3+y^{2}z=12\\ x^4+y^{3}z=24\end{array}.$$

Câu 2. (5,00 điểm)
1. Cho tam giác $ABC$ có $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$ thoả mãn $\frac{b^3+c^3-a^3}{b+c-a}=a^2$. Tính số đo góc $\widehat{BAC}$.
2. Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$, $C$ là trung điểm của $OA$, $M$ là một điểm thuộc $(O)$. Đường thẳng $MC$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $D$, đường thẳng qua $D$ và vuông góc với $AB$ cắt lại $(O)$ tại $E$, đường thẳng $ME$ cắt đường thẳng $AB$ tại $F$.
a) Chứng minh $A$ là trung điểm của $FO$.
b) Đường thẳng qua $M$ và vuông góc với $AB$ cắt lại $(O)$ tại $K$ $(K\ne M)$. Chứng minh ba điểm $F$, $D$, $K$ thẳng hàng; từ đó chỉ ra vị trí điểm $M$ sao cho tổng $EF+MC$ có giá trị nhỏ nhất.

Câu 3. (2,00 điểm) Cho đa thức $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ với $a,b,c,d\in \mathbb{Q}$. Biết $f\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)=\sqrt{2}$. Tính $f(16)$.

Câu 4. (4,00 điểm) Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực thoả $(a+3c)(a+2b+3c)<0$. Chứng minh rằng ${\left(2b-3c\right)}^2>4a(a+2b+3c)$.

Câu 5. (3,00 điểm) Dãy các số tự nhiên $u_0$, $u_1$, $u_2$,$\dots$ được xác định như sau: $u_0$, $u_1$ là các số tự nhiên nhỏ hơn 2025, còn với mọi $n\ge 2$ thì $u_n$ là số nhỏ nhất trong các giá trị tuyệt đối của hiệu hai số hạng bất kì đứng trước nó. Chứng minh rằng $u_{17}=0$.