Đề Thi Olympic Dành Cho Học Sinh Lớp 10, Lớp 11 2025-2026 - Môn Toán 10

Tập xác định $D$ của hàm số $f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2}$ là $D=[a;+\infty )\setminus \{b\}$. Khi đó $a.b$ có giá trị bằng bao nhiêu?

Bảng số liệu sau thống kê nhiệt độ tại một thành phố trong một ngày của năm 2024:



Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đã cho bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một lớp học có 30 học sinh, cần chọn một ban cán sự lớp gồm 3 người với các chức vụ lớp trưởng, lớp phó học tập và lớp phó lao động. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Cho hai đường thẳng $d_1:(2m-1)x+2y-5=0$ và $d_2:x+my+1=0$. Giá trị của tham số $m$ bằng bao nhiêu để hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ vuông góc?

Cho parabol $(P):y=a{x}^2-4x+b$ có đỉnh $I(2;-1)$. Giá trị $a+2b$ bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $y=m^{2}x+2(x-m)$. Biết rằng có hai giá trị $m_1,m_2$ của tham số $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $[1;4]$ bằng 8, giá trị $m_1+m_2$ bằng bao nhiêu?

Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 gram hương liệu, 9 lít nước và 210 gram đường để pha chế nước cam và nước táo.
• Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 gram đường, 1 lít nước và 1 gram hương liệu.
• Để pha chế 1 lít nước táo cần 10 gram đường, 1 lít nước và 4 gram hương liệu.
Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi giá trị điểm thưởng lớn nhất của một đội chơi bằng bao nhiêu?

Cho hình bình hành $ABCD$ có $AB=2$, $BC=3$, $\widehat{BAD}=60°$. Gọi $K$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{AK}=-2\overrightarrow{DK}$. Giá trị tích vô hướng $\overrightarrow{BK}.\overrightarrow{AC}$ bằng bao nhiêu?

Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số thỏa mãn chữ số đứng trước không nhỏ hơn chữ số đứng sau?

Cho tam giác $ABC$ có $AB=3,AC=5$, $\widehat{BAC}=60°$ và điểm $M$ bất kỳ. Biểu thức $P=\sqrt{3}MA+MB+MC$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Câu 11. (5,0 điểm) Cho hàm số $y=-x^2+2(m+1)x+1-m^2$ (1), ($m$ là tham số).
a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho với $m=1$.
b) Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho tam giác $KAB$ vuông tại $K$, trong đó $K(2;-2)$.

Câu 12. (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $D$, $AB=AD=\frac{1}{3}CD$. Giao điểm của $AC$ và $BD$ là $E(3;-3)$; điểm $F(5;-9)$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $AF=5FB$. Biết rằng đỉnh $A$ có tung độ âm.
a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng $EF$.
b) Chứng minh $AC$ vuông góc $EF$.
c) Tìm tọa độ các đỉnh $A,D$?

Câu 13. (2,0 điểm) Có 5 học sinh nam, 4 học sinh nữ và 1 giáo viên. Xếp ngẫu nhiên 10 người vào một bàn dài gồm 10 ghế sao cho mỗi ghế có đúng một người ngồi.
a) Hỏi có bao nhiêu cách xếp ngẫu nhiên 10 người ngồi vào bàn dài?
b) Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 người đó ngồi vào bàn dài mà giáo viên luôn ngồi giữa 2 học sinh nữ?