Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 11 Sở GD&ĐT Nghệ An 2025-2026 - Đề Số 2

Để chuẩn bị kinh phí mua một chiếc laptop trị giá 15 triệu đồng, bạn Nam đã quyết định nuôi một chiếc ống heo tiết kiệm. Vào tháng đầu tiên, Nam bỏ vào ống heo này 500.000 đồng. Kể từ tháng thứ hai trở đi, mỗi tháng Nam đều bỏ vào ống heo số tiền nhiều hơn tháng kế trước là 100.000 đồng. Sau đúng 12 tháng duy trì việc tiết kiệm theo kế hoạch, tổng số tiền trong ống heo của Nam có đủ để mua chiếc laptop đó không? Nam còn thừa hay thiếu bao nhiêu triệu đồng?

Để có kinh phí tổ chức chuyến đi thiện nguyện cuối hè, nhóm học sinh mở một tiệm bánh nhỏ kinh doanh hai loại sản phẩm là Bánh Mì Kep và Bánh Bao. Nhóm đã thiết kế hai thực đơn cho khách hàng như sau: Thực đơn 1 có giá 25 nghìn đồng, bao gồm 1 chiếc bánh mì kep và 1 chiếc bánh bao. Thực đơn 2 có giá 40 nghìn đồng, bao gồm 2 chiếc bánh mì kep và 1 chiếc bánh bao. Qua khảo sát nguồn lực chuẩn bị trong ngày, nhóm chỉ có thể làm ra tối đa 80 chiếc bánh mì kep và 60 chiếc bánh bao. Giả sử toàn bộ số thực đơn làm ra đều được bán hết, hãy tính số tiền lớn nhất (đơn vị: triệu đồng) mà nhóm có thể thu về được.

Trong điều kiện thời tiết xấu, một tàu đánh cá phát tín hiệu cấp cứu tại vị trí $M$. Hai trạm thu tín hiệu $A$ và $B$ đặt ven biển cách nhau 100 km. Tín hiệu vô tuyến từ tàu $M$ truyền đến trạm $A$ sớm hơn truyền đến trạm $B$ là $0,2.10^{-3}$ giây. Biết vận tốc truyền tín hiệu vô tuyến trong không khí là 300.000 km/s. Qua radar, người ta xác định được tàu $M$ đang ở cách đường thẳng nối hai trạm $A$ và $B$ một khoảng là 40 km. Một tàu cứu hộ xuất phát tại cảng $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Khoảng cách từ cảng $K$ đến vị trí tàu $M$ gặp nạn bằng bao nhiêu kilômét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Cho hình lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thang, $BC$ là đáy lớn và $BC=2AD$; các mặt bên là các hình chữ nhật; $A{A}^{\prime }=\sqrt{42}$, $C^{\prime }{D}^{\prime }=11$; $M$ là trung điểm của cạnh $C^{\prime }{D}^{\prime }$.

a) Tìm giao điểm của đường thẳng $A^{\prime }C$ với mặt phẳng $(BD{C}^{\prime })$.

b) Gọi $N$ là điểm nằm trên cạnh $C^{\prime }{D}^{\prime }$ thỏa mãn $D^{\prime }N=2C^{\prime }N$. Các điểm $I$, $K$ lần lượt thuộc các đường thẳng $B^{\prime }D$ và $A^{\prime }N$ sao cho hai đường thẳng $IK$ và $CM$ song song với nhau. Tính độ dài của đoạn thẳng $IK$.

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $\widehat{BAD}=60^{\circ }$, $AB=4$, $AD=3$; $O$ là tâm của hình hộp; $A_1$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$; $I$ là điểm thuộc đoạn thẳng $AO$ thỏa mãn $IO=2IA$. Mặt phẳng $(\alpha )$ thay đổi chứa đường thẳng $I{A}_1$ đồng thời cắt các cạnh $AB$, $AD$ lần lượt tại $B_1$, $D_1$ $(B_1\ne A$, $D_1\ne A)$. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $A{B}_1{D}_1$.

Cho một bảng ô vuông $3\times 3$. Người ta chọn ngẫu nhiên 9 số nguyên dương phân biệt từ tập hợp $A=\{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\mid n\le 30\}$ và điền ngẫu nhiên vào 9 ô của bảng. Tính xác suất để bảng nhận được thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1) Tích các số ở mỗi hàng và mỗi cột đều bằng 120.

2) Tồn tại số nguyên dương $q$ sao cho các số ở cột 1 là $(a;b;c)$, các số ở cột 2 là $(d;e;f)$, các số ở cột 3 là $(k;m;n)$ thỏa mãn $a^2+bc=d^2+ef=k^2-mn=q^2$.