Đề Thi Học Sinh Giỏi Môn Toán 11 THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng - Vòng 2 - Đề Số 2

Gọi $\mathcal{F}$ là tập hợp tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực thỏa mãn
$$P(P(x)+x+1)=P(x)P(x+1)+P(x)+P(x+1)$$
với mọi số thực $x$.
a) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thuộc $\mathcal{F}$.
b) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên, thuộc $\mathcal{F}$ và thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
i. $P(x)$ có nghiệm thực;
ii. Tồn tại đa thức $Q(x)$ với hệ số nguyên sao cho đa thức $P(x)Q(x)$ có tất cả các hệ số thuộc tập hợp $\{-2;-1;1;2\}$.

Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $B,C$ cố định nằm trên đường tròn đó sao cho dây $BC$ không là đường kính. Gọi $N$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$ của $(O)$. Lấy điểm $A$ di động trên cung lớn $BC$ của $(O)$ sao cho $AB<AC$ và $ABC$ là tam giác nhọn. Gọi $(I)$ là đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ và $D$ là tiếp điểm của $(I)$ với $BC$. Gọi $(O_a)$ là đường tròn tiếp xúc với $AB$, $AC$ và tiếp xúc trong với $(O)$ tại $T$.
a) Gọi giao điểm của đường thẳng $AT$ và đường tròn $(I)$ là $R$ và $S$ sao cho $AS<AR$. Chứng minh rằng tỉ số $\frac{RA}{RT}$ luôn có giá trị không đổi.
b) Đường thẳng $TD$ cắt lại $(O)$ tại $X$. Đường thẳng $XI$ cắt $AT$ tại $L$ và cắt lại $(O)$ tại $U$. Đường thẳng qua $I$ và song song với $BC$ cắt đường thẳng $UT$ tại $W$. Đường thẳng $NL$ cắt lại $(O)$ tại $Y$. Chứng minh rằng đường thẳng $WY$ luôn đi qua một điểm cố định.

Ty có 200 viên bi xanh và 200 viên bi đỏ. Ty bốc ra $a$ viên bi xanh đưa cho Bình và bốc ra $b$ viên bi đỏ đưa cho Ngọ, trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $1\le b<a\le 200$. Hai bạn Bình và Ngọ sẽ sử dụng những viên bi đó để cùng chơi một trò chơi như sau: Trên bảng ô vuông $100\times 100$, Bình chơi trước và đặt $a$ viên bi xanh vào $a$ ô vuông bất kì của bảng sao cho ở mỗi ô chỉ được đặt đúng một viên bi, sau đó Ngọ đặt $b$ viên bi đỏ vào $b$ ô vuông bất kì trong các ô còn lại của bảng sao cho ở mỗi ô chỉ được đặt đúng một viên bi. Bình thắng nếu có một đường đi bắt đầu từ ô dưới cùng bên trái và kết thúc ở ô trên cùng bên phải mà không đi qua những ô đã có viên bi đỏ (một đường đi là dãy các ô vuông liên tiếp nhau sao cho hai ô liên tiếp có chung một cạnh). Trong trường hợp ngược lại, Ngọ thắng.
a) Với $a=199$ và $b=100$, chứng minh rằng Bình là người có chiến thuật thắng.
b) Với $a=197$ và $b=99$, chứng minh rằng Ngọ là người có chiến thuật thắng.
c) Tìm số lượng tất cả các cặp $(a,b)$, với $1\le b<a\le 200$, để Bình là người có chiến thuật thắng.