Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Cấp Trường Toán 12 THPT Kon Tum 2024-2025

Câu 1 (4,0 điểm).
1) Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{m}{2}{x}^2-\left(3m^2-1\right)x+m$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số đã cho đạt cực trị tại hai điểm $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1{x}_2+2\left(x_1+x_2\right)+4=0$.
2) Hai con tàu $A$ và $B$ đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lí. Cả hai tàu đồng thời cùng khởi hành. Tàu $A$ chạy về hướng Nam với vận tốc 6 hải lí/giờ, còn tàu $B$ chạy về vị trí hiện tại của tàu $A$ với vận tốc 7 hải lí/giờ. Hỏi sau bao nhiêu phút thì khoảng cách giữa hai tàu là ngắn nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Câu 2 (3,0 điểm).
1) Giải hệ phương trình $$\{\begin{array}{l}\sqrt{4xy+x+3}=x+4y-1\\ {\log }_{3}x+{\log }_3\left(x-y\right)+1={\log }_3\left(4y\right)+{\log }_3\left(2x+y\right)\end{array}.$$
2) Cho dãy số $\left(a_n\right)$ xác định bởi $$\{\begin{array}{l}{a}_1=20;a_2=24\\ n{a}_{n+2}=\left(3n+2\right)a_{n+1}-2\left(n+1\right)a_n\end{array}\left(n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right).$$
Tìm $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}$.

Câu 3 (3,0 điểm).
1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số, mà các chữ số đôi một khác nhau và trong đó hai chữ số kề nhau không cùng là số lẻ?
2) Trong một đề thi trắc nghiệm môn Toán có loại câu hỏi trả lời Đúng/Sai. Mỗi câu hỏi có 4 ý, tại mỗi ý học sinh lựa chọn đúng hoặc sai. Cách thức tính điểm cho mỗi câu hỏi như sau:
• Học sinh chọn chính xác 01 ý được 0,1 điểm.
• Học sinh chọn chính xác 02 ý được 0,25 điểm.
• Học sinh chọn chính xác 03 ý được 0,5 điểm.
• Học sinh chọn chính xác 04 ý được 1,0 điểm.
Giả sử một thí sinh làm bài bằng cách chọn phương án ngẫu nhiên để trả lời cho 2 câu hỏi loại Đúng/Sai này. Tính xác suất để học sinh đó được 0,5 điểm ở phần trả lời 2 câu hỏi này.

Câu 4 (4,0 điểm).
1) Cho tứ diện $ABCD$ có $AB$ vuông góc với $CD$, $AB=CD=6$. $M$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $MC=xBC(0<x<1)$. Mặt phẳng $(P)$ song song với $AB$ và $CD$ lần lượt cắt $BC,DB,AD,AC$ tại $M,N,P,Q$. Diện tích lớn nhất của tứ giác $MNPQ$ bằng bao nhiêu?
2) Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a$. Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SCD)$ bằng $\phi$, với $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{3}}$. Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$.

Câu 5 (3,0 điểm). Cho hình chóp $S.ABC$, mặt bên $SBC$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, $\widehat{ASB}=\widehat{ASC}=60^{\circ }$, $SB=1$. Tính khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$.

Câu 6 (1,5 điểm). Một chiếc máy bay đang bay trên không trung. Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ được gắn như hình vẽ, trong đó gốc $O$ là vị trí của trạm kiểm soát không lưu và $M(x;y;z)$ (km) biểu thị vị trí máy bay trên không trung. Tại thời điểm 9 giờ, máy bay đang ở vị trí $(50;120;4)$ và chuyển động với vận tốc $\overrightarrow{v_1}=(300;400;3)(\text{km/h})$. Khi máy bay đạt độ cao 10 km so với mặt đất, máy bay đổi vận tốc mới $\overrightarrow{v_2}=(400;300;-5)(\text{km/h})$ để hướng đến sân bay $A$. Tìm tọa độ máy bay khi vừa đáp xuống sân bay $A$.

Câu 7 (1,5 điểm). Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$. Chứng minh rằng
$$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le 1.$$