Đề Chọn Đội Tuyển HSG Quốc Gia THPT - Môn Toán (Ngày 2)

Bài 1. (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm cung nhỏ $BC$ và cung $\widehat{BAC}$ của đường tròn $(O)$.

a) Gọi $I$, $J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $AMB$, $AMC$. Chứng minh bốn điểm $A$, $N$, $I$, $J$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi $(K)$ là đường tròn tiếp xúc với $AM$, $AB$ và tiếp xúc trong với $(O)$; $(L)$ là đường tròn tiếp xúc với $AM$, $AC$ và tiếp xúc trong với $(O)$. Tiếp tuyến chung trong (khác $AM$) của $(K)$ và $(L)$ cắt $MN$ tại $Z$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $AZN$ tiếp xúc với cả $(K)$ và $(L)$.

Bài 2. (7,0 điểm) Có $N$ người ngồi thành một vòng tròn (với $N\ge 3$), mỗi người cầm $k$ tấm thẻ (với $k\ge 2$), trên mỗi tấm thẻ được ghi một số thuộc tập $\{1;2;3;\dots ;N\}$. Mỗi số thuộc tập trên được ghi đúng trên $k$ tấm thẻ, tức là có $k$ thẻ được ghi số 1, $k$ thẻ được ghi số 2,$\dots$, $k$ thẻ được ghi số $N$. Cả $N$ người cùng thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lượt chơi, mỗi người đều giữ lại những thẻ được ghi số lớn nhất trong những thẻ mà mình đang có (có thể nhiều hơn một thẻ) rồi chuyển cho người bên tay trái những thẻ còn lại. Trò chơi sẽ dừng lại khi xuất hiện ít nhất một người giữ trong tay $k$ thẻ có ghi số giống nhau (có thể họ đang giữ nhiều hơn $k$ thẻ).

a) Với $N=25$, $k=2$, chứng minh rằng trò chơi luôn dừng lại sau hữu hạn lượt chơi mà không phụ thuộc vào việc ban đầu họ cầm thẻ thế nào.

b) Tìm tất cả các giá trị của $k$ và $N$ để trò chơi dừng lại sau hữu hạn lượt chơi mà không phụ thuộc vào việc ban đầu họ cầm thẻ thế nào.

Bài 3. (6,0 điểm) Cho đa thức hệ số thực $P(x)=x^{2026}+a_1{x}^{2025}+\cdots +a_{2025}x+a_{2026}$ với $a_{2024}=0$ và $a_{2025}{a}_{2026}>0$. Biết rằng đa thức $P(x)$ có 2026 nghiệm thực.

a) Chứng minh rằng $P(x)$ có cả nghiệm âm và nghiệm dương.

b) Xét dãy đa thức $P_1(x)=P(x)$, $P_{n+1}(x)=P\left(P_n(x)\right)$, $\forall n\ge 1$. Chứng minh rằng đa thức $P_{2026}(x)$ có cả nghiệm âm và nghiệm dương.