Đề Chọn Đội Tuyển HSG Quốc Gia 2026-2027 - Môn Toán (Vòng 2) - Sở GD&ĐT Quảng Trị - Đề Số 2

Câu 5. (6.0 điểm)

a) Cho $n=2026^{2027}+2027^{2026}+30$. Chứng minh rằng tổng tất cả các ước số nguyên dương của $n$ chia hết cho 24.

b) Tìm tất cả các số nguyên dương $x$, $y$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $\frac{x{y}^3}{x+y}=p$.

Câu 6. (7.0 điểm)

Cho đa giác lồi 2026 đỉnh $A_1{A}_2...A_{2026}$. Tô màu tất cả các đỉnh của đa giác bởi một trong hai màu đỏ hoặc xanh, mỗi đỉnh chỉ được tô bởi một màu.

a) Tính số cách tô màu sao cho không có 2 đỉnh nào kề nhau đều được tô màu xanh.

b) Tính số cách tô màu sao cho với mọi $k\in \{1;2;...;2026\}$, trong $k$ đỉnh $A_1,A_2,...,A_k$, số đỉnh được tô màu đỏ không ít hơn số đỉnh được tô màu xanh.

Câu 7. (7.0 điểm) Trên đường tròn $(O)$ cố định, cho dây cung $BC$ cố định khác đường kính và điểm $A$ di động trên đường tròn $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn và không cân. Gọi $D$, $E$ lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ $\widehat{AB}$, $\widehat{AC}$ của đường tròn $(O)$. Đoạn thẳng $DE$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $X$, $Y$. Giả sử các đường tròn $(BDX)$, $(CEY)$ cắt nhau tại hai điểm $I$, $K$ phân biệt và các đường tròn $(BEX)$, $(CDY)$ cắt nhau tại hai điểm $R$, $S$ phân biệt.

a) Chứng minh rằng $\widehat{BAC}\ne 60^{\circ }$ và đường thẳng $IK$ luôn đi qua một điểm cố định.

b) Chứng minh rằng đường thẳng $RS$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $BC$ và trung điểm $RS$ di động trên một đường tròn cố định.