Đề Chọn Đội Tuyển HSG Quốc Gia 2026-2027 - Môn Toán (Sở GD&ĐT Phú Thọ)

Cho đa thức $P_n(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$ với $n\in \mathbb{N},n\ge 3$, $a_0,a_1,\dots ,a_{n-1}$ là các số nguyên và $P_n(x)$ có $n$ nghiệm thực phân biệt lập thành một cấp số cộng.

a) Với $n=4$, chứng minh rằng đa thức $P_4^{\prime }(x)$ có ba nghiệm thực phân biệt lập thành một cấp số cộng.

b) Chứng minh rằng đa thức $P_n(x)$ luôn phân tích được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1.

Cho $n\in \mathbb{N},n\ge 1$, số nguyên dương $k$ được gọi là một số $n-$tốt, nếu tồn tại $a\in \{1;2;3;\dots ;2026\}$ để $k$ là số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn số hữu tỉ $\frac{10^k-1}{n\cdot a}$ là số thập phân hữu hạn.

a) Chứng minh rằng $k=6$ là một số $18-$tốt.

b) Gọi $S(n)$ là tập hợp các số $n-$tốt. Tìm giá trị lớn nhất của $\left|S(n)\right|$ (kí hiệu $|S|$ là số phần tử của tập hợp $S$).

Câu 3 (6,0 điểm). Cho tứ giác lồi $ABCD$ có hai cạnh $AD$ và $BC$ không song song. Giả sử hai đường tròn có đường kính $AB$ và $CD$ cắt nhau tại các điểm $E$ và $F$ nằm bên trong tứ giác. Gọi ${\omega }_B$ là đường tròn đi qua chân các đường vuông góc từ $E$ đến các đoạn thẳng $AB,BC,CD$. Gọi ${\omega }_F$ là đường tròn đi qua chân các đường vuông góc từ $F$ đến các đoạn thẳng $CD,DA,AB$.

a) Chứng minh ${\omega }_B$ đi qua chân đường vuông góc của $E$ lên $DA$.

b) Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng $EF$ nằm trên đường thẳng đi qua hai giao điểm của ${\omega }_B$ và ${\omega }_F$.

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$, đường phân giác trong $AD\left(D\in BC\right)$, điểm $P$ thuộc đoạn $AD\left(P\ne A,P\ne D\right)$. Gọi $X,Y,Z$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $P$ lên ba cạnh $BC,CA,AB$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $XYZ$ cắt lại $BC$ tại điểm $X^{\prime }$ khác $X$.

a) Chứng minh rằng $A{X}^{\prime },BY,CZ$ đồng quy.

b) Gọi $M,N$ là giao điểm của $YZ$ với đường tròn $(O)$ ($M,Y;Z,N$ thẳng hàng theo thứ tự trên). Gọi $S$ là giao điểm hai tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$, $AP$ cắt lại $(O)$ tại điểm $T$ khác $A$. Chứng minh rằng $SP,ST$ đẳng giác góc $\widehat{MSN}$ và $SP$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $PMN$.

Cho tập hợp $S=\{1;2;3;\dots ;2025;2026\}$.

a) Có bao nhiêu tập con khác rỗng của $S$ thỏa mãn tổng các phần tử của tập con đó chia hết cho 4.

b) Xét $n$ $(n\in \mathbb{N},n\ge 2)$ tập hợp con $S_1,S_2,\dots ,S_n$ của $S$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1. $S_i\ne \varnothing$ với $i=1,2,\dots ,n$.

2. $\left|S_i\setminus S_j\right|\ne 0,\forall i\ne j,1\le i,j\le n$.

3. $\left|S_i\right|\ne \left|S_j\right|,\forall i\ne j,1\le i,j\le n$.

Tìm giá trị lớn nhất của $n$ (kí hiệu $|S|$ là số phần tử của tập hợp $S$).

Với số thực $k$, xét các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn

$$f\left(f(x)+y\right)=kx+f\left(x+f\left(f(y)\right)\right),\forall x,y\in \mathbb{R}.$$

Tìm tất cả các giá trị của $k$ để tồn tại hàm số $f$ thỏa mãn điều kiện bài toán.